Moltiplicazione matrici: esercizio

[darmmm]

Ciao a tutti sto seguendo il libro di Algebra Lineare di Lang. Questo è l'esercizio 10, tratto dal paragrafo 14 del capitolo 3. Il testo dell'esercizio è il seguente:

Sia $ M $ una matrice $ nxx n $ tale che $ M^T=M $. Assegnati due vettori colonna nell' $ n $-spazio, siano essi $ A $ e $ B $, si definisca $ \langle A,B \rangle $ come il prodotto $ A^TMB $. (Si identifichi una matrice $ 1xx 1 $ con un numero.) Dimostrare che le proprietà del prodotto scalare sono valide, con la possibile eccezione della proprietà di positività. Dare un esempio di una matrice $ M $ e di due vettori $ A $, $ B $ tali che $ A^TMB $ sia negativo (considerando il caso $ n=2 $).

Ho svolto la prima parte della dimostrazione, ma non riesco a fare altrettanto per la proprietà di positività.
Per quanto riguarda la prima parte della dimostrazione, io ho scritto che:

chiamiamo $ a_i $ gli elementi del vettore riga $ A^T $ di dimensioni $ 1xx n $
chiamiamo $ m_ik $ gli elementi della matrice $ M $ di dimensioni $ nxx n$
$ A^TM $ è una matrice $ 1xx n $ il cui elemento $ k $ equivale a

$ sum_(i = 1)^(n) a_i m_(ik) $

chiamiamo $ b_k $ gli elementi del vettore colonna $ B $ di dimensioni $ nxx 1 $
$ A^TMB $ è una matrice $1xx 1$ il cui elemento è

$ sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k $

allo stesso modo $ B^TMA $ è

$ sum_(i=1)^n [sum_(k=1)^nb_km_(ki)]ai $

poiché per ipotesi $ M = M^T $ cioè $ m_(ik)=m_(ki) $:

$ sum_(i=1)^n [sum_(k=1)^nb_km_(ki)]ai = sum_(i=1)^n sum_(k=1)^nb_km_(ik)ai = sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k $

quindi $ A^TMB=B^TMA $, cioè si dimostra la proprietà del prodotto scalare per cui $ \langleA,B\rangle=\langleB,A\rangle $.

Sia $ alpha in mathbb(R) $

$ alpha sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k =sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]alpha b_k =sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n alpha a_im_(ik)]b_k $

quindi è dimostrata la proprietà per cui $ alpha \langleA,B\rangle=\langlealpha A,B\rangle=\langleA,alphaB\rangle $.

Sia $ W $ un vettore colonna nel $ n $-spazio

$ (A^T+W^T)MB= sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n (a_i+w_i)m_(ik)]b_k = sum_(k=1)^n sum_(i=1)^n a_im_(ik)b_k+w_im_(ik)b_k=sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k+ sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n w_im_(ik)]b_k = A^TMB + W^TMB $

quindi è dimostrata la proprietà per cui $ \langleA+C,B\rangle=\langleA,B\rangle+\langleC,B\rangle $.


Non sono riuscito a trovare online la soluzione dell'esercizio per verificare se quanto ho svolto fino a questo punto è corretto.
Inoltre, nonostante mi sia chiaro, attraverso degli esempi pratici, che il prodotto $ A^TMB $ possa assumere anche valori negativi, non so come procedere per dimostrarlo.

[Quinzio]

"darmmm":
Inoltre, nonostante mi sia chiaro, attraverso degli esempi pratici, che il prodotto $ A^TMB $ possa assumere anche valori negativi, non so come procedere per dimostrarlo.

Ti lascio questa dimostrazione lampo, poi dimmi tu se ti convince.
E' banale mostrare che esiste $ A^TMB > 0 $.
Ad esempio, se $\forall i, j$ abbiamo che $a_i, b_i, m_{ij} > 0$
Quindi $ A^TM(-B) < 0 $.

[Quinzio]

"darmmm":
$ A^TMB $ è una matrice $ 1xx 1 $ il cui elemento è

$ sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k $

allo stesso modo $ B^TMA $ è

$ sum_(i=1)^n [sum_(k=1)^nb_km_(ki)]ai $

poiché per ipotesi $ M = M^T $ cioè $ m_(ik)=m_(ki) $:

$ sum_(i=1)^n [sum_(k=1)^nb_km_(ki)]ai = sum_(i=1)^n sum_(k=1)^nb_km_(ik)ai = sum_(k=1)^n [sum_(i=1)^n a_im_(ik)]b_k $

quindi $ A^TMB=B^TMA $, cioè si dimostra la proprietà del prodotto scalare per cui $ \langleA,B\rangle=\langleB,A\rangle $.

Io sarei ancora piu' stringato:

$ sum_(i=1)^n sum_(k=1)^n a_i m_(ik)b_k = sum_(k=1)^n sum_(i=1)^n b_k m_(ki)a_i$

siccome $m_{ik} = m_{ki}$,

da cui $A^TMB = B^TMA$

[darmmm]

"Quinzio":
E' banale mostrare che esiste $ A^TMB > 0 $.
Ad esempio, se $\forall i, j$ abbiamo che $a_i, b_i, m_{ij} > 0$
Quindi $ A^TM(-B) < 0 $.

Quindi posso dire che, per esempio, se per $ AA i,j $ abbiamo che $ a_i,b_i>0 $ ma $ m_(ij)<0 $, allora $ A^TMB<0 $ ?
Spero di aver capito bene cosa intendevi.
Ho iniziato da poco a cimentarmi nella materia, quindi faccio un po' fatica a "vedere" queste cose. Grazie mille per le dritte.

[j18eos]

Suggerimento flash: prendi \(\displaystyle M=-Id^n_n\)...

[Quinzio]

"darmmm":[quote="Quinzio"]
E' banale mostrare che esiste $ A^TMB > 0 $.
Ad esempio, se $\forall i, j$ abbiamo che $a_i, b_i, m_{ij} > 0$
Quindi $ A^TM(-B) < 0 $.

Quindi posso dire che, per esempio, se per $ AA i,j $ abbiamo che $ a_i,b_i>0 $ ma $ m_(ij)<0 $, allora $ A^TMB<0 $ ?
Spero di aver capito bene cosa intendevi.
Ho iniziato da poco a cimentarmi nella materia, quindi faccio un po' fatica a "vedere" queste cose. Grazie mille per le dritte.[/quote]

Certo.