Moltiplicazione di una matrice per una matrice a blocchi

[marco2132k]

Ciao. Sia \( M=\left(m_{ij}\right) \) una matrice \( m\times n \), e \( p \) un intero positivo minore di \( n \). Possiamo dividere in blocchi la matrice \( M \) attraverso due matrici \( A=\left(a_{ij}\right) \) e \( B=\left(b_{ij}\right) \) rispettivamente di \( m\times p \) e \( m\times(n-p) \) righe e colonne.

Se \( X=\left(x_{ij}\right) \) è una matrice \( l\times m \), scritta \( M \) come[nota]Perché

\left[\begin{array}{@{}c|c@{}}A & B\end{array}\right]

me lo fa sproporzionato rispetto al testo?[/nota] \( \left[A|B\right] \), abbiamo sempre che il prodotto \( XM \) è dato dalla matrice \( \left[XA|XB\right] \)? Sto cercando in questo momento di provarlo, e credo di sì: non riesco a capire fino a dove la dimostrazione che faccio è rigorosa, e non intuitiva.

Ovviamente non vale usare le applicazioni lineari.

Dimostrazione. Tutto sta nel capire che cos'è la matrice \( \left[XA|XB\right] \). Non ho mai visto una definizione di 'sta cosa, però intuitivamente direi che è la matrice \( l\times n \) che per \(1\leqq i\leqq l \) e \( 1\leqq j\leqq p \) ha componente \( ij \) data da
\[
\left(\left[XA|XB\right]\right)_{ij}=\left(XA\right)_{ij}
\]
e che per \(1\leqq i\leqq l \) e \(p+1\leqq j\leqq n \) ha per entrata \( ij \)
\[
\left(\left[XA|XB\right]\right)_{ij}=\left(XB\right)_{i\, j-p}
\]
Allora, tenendo presente che \( \left(A\right)_{ij}=\left(M\right)_{ij} \) per \( 1\leqq j\leqq p \) e che \( \left(B\right)_{ij}=\left(M\right)_{i\, j+p} \) per \( 1\leqq j\leqq n-p \), abbiamo che, considerato un \( 1\leqq j\leqq p \) è
\[
\left(XA\right)_{ij}={\sum_{k=1}^m x_{ik}a_{kj}}={\sum_{k=1}^m x_{ik}m_{kj}}
\]
e considerato un \( 1\leqq j'\leqq n-p \), ossia in definitiva un \( p+1\leqq j'+p\leqq n \) è
\[
\left(XB\right)_{ij'}={\sum_{k=1}^m x_{ik}m_{k\, j'+p}}
\]
Sia dunque \( \pi_{ij} \) in \( \left[XA|XB\right] \), per un \( j \) compreso tra \( 1 \) e \( n \); allora dico che \( \pi_{ij}=\left(XM\right)_{ij} \). Se \( j\leqq p \) claim regge, e sia \( p+1\leqq j\leqq n \). Allora, \( \pi_{ij}=\left(XB\right)_{i\, j-p} \), ossia \( \pi_{ij}={\sum_{k=1}^n x_{ik}m_{kj}} \), che è la tesi. \( \square \)

Regge? In particolare non mi quadrano molto i cambi di indice nel passaggio da \( \left[XA|XB\right] \) al secondo blocco: le ho ottenute ad occhio.

[ot]Metto OT perché la cosa mi interessa relativamente, per quanto riguarda il post: esiste una dimostrazione più semplice?[/ot]

[marco2132k]

In effetti andrebbe chiarito, nelle ultime due righe, in questo caso... Grazie per aver controllato!