Moltiplicazione di una matrice per la sua trasposta
Salve, vorrei un consiglio su come risolvere questo esercizio. Devo dimostrare che se A è una matrice m×n allora esiste una matrice P tale che P^2=A*A^t. Ho pensato che probabilmente devo ragionare sugli autovalori ma non ne sono ancora venuto a capo.
Risposte
Innanzitutto dimostriamo che $B = A*A^T$ e' semidefinita positiva, ovvero ha tutti gli autovalori $\ge 0$. Inoltre e' immediato osservare che $B$ e' simmetrica. Quindi $B$ e' diagonalizabile, ovvero esiste una matrice $R$ tali che $R^{-1} B R = D$ e' diagonale, con numeri $\ge 0$ sulla diagonale.
Ora,trovare una radice quadrata di una matrice diagonale dovrebbe essere facile, e un po' di algebra dovrebbe portare alla soluzione.
Ora,trovare una radice quadrata di una matrice diagonale dovrebbe essere facile, e un po' di algebra dovrebbe portare alla soluzione.
Avevo dimostrato che anche B è simmetrica e quindi diagonalizzabile. Però non avevo mai fatto le matrici semidefinite positive perciò non avevo notato che gli autovalori fossero non negativi (penso proprio per poter estrarre la radice di D). Essendo B simmetrica posso diagonalizzarla con una matrice ortogonale per il teorema spettrale, tu però hai indicato due matrici R ed S, come mai?
Perche' ho sbagliato. Ora ho corretto! Grazie
Prego, a questo punto quindi basta ricavare B estrarre la radice e ottengo che la matrice P che cerco è RD^1/2R^(-1)
Esattamente. E dal momento che $D$ ha reali positivi sulla diagonale, e' facile trovare $D^{1/2}$.
L'unica cosa non automatica e' osservare che $A^TA$ e' semidefinita positiva. Ma se uno scrive la definizione e applica un po' di algebra, viene facilmente.
L'unica cosa non automatica e' osservare che $A^TA$ e' semidefinita positiva. Ma se uno scrive la definizione e applica un po' di algebra, viene facilmente.
Infatti quell'ultimo punto li mancava ancora anche perchè non le avevo fatte le matrici semidefinite positive. In pratica devo dimostrare che ha autovalori non negativi, ma per applicare la definizione quale intendi?
In realta' la definizione a cui pensavo io e' diversa. L'avere autovalori non negativi diventa una conseguenza quando poi si usa il teorema spettrale e la si diagonalizza.
Una matrice quadrata $M$ si dice semidefinita positiva se la forma quadratica associata e' semidefinita positiva, ovvero, per ogni vettore $v$, $v^T M v \ge 0$. Ora, se la tua $M$ e' $A^T A$ e' facile far vedere che in effetti $v^T M v \ge 0$ per ogni vettore $v$. Come faresti? Quale quantita' associata a un vettore e' sempre maggiore o uguale di $0$?
Una matrice quadrata $M$ si dice semidefinita positiva se la forma quadratica associata e' semidefinita positiva, ovvero, per ogni vettore $v$, $v^T M v \ge 0$. Ora, se la tua $M$ e' $A^T A$ e' facile far vedere che in effetti $v^T M v \ge 0$ per ogni vettore $v$. Come faresti? Quale quantita' associata a un vettore e' sempre maggiore o uguale di $0$?
La sua norma. Io penso di fare così: ho v^tMv=v^tA^tAv=(Av)^tAv che è il prodotto scalare di Av per se stesso quindi la sua norma al quadrato.
Esatto. Quindi la forma quadratica associata a $M$ e' nulla su tutti i vettori di $\ker A$ e strettamente positiva su tutti gli altri vettori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo