Molteplicità in $P$ di componenti curva
Ciao, amici! Trovo lasciata come facile (sic!) esercizio la dimostrazione* che, date due curve affini o proiettive $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$, in ogni punto $P$ del piano la molteplicità della curva che le ha per componenti $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ è $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$.
Ora, mi è chiaro che $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\geq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$ perché per ogni retta $r$ la molteplicità di intersezione con la curva $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ è $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$ e quindi il minimo, al variare della retta del fascio di centro $P$, non può scendere al di sotto di $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})$, ma da che cosa discende l'uguaglianza?
Sperando che qualcuno possa gettarmi un salvagente ringrazio tutti $oo$-mente!!!
*E. Sernesi, Geometria I, [34.17].
Ora, mi è chiaro che $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\geq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$ perché per ogni retta $r$ la molteplicità di intersezione con la curva $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ è $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$ e quindi il minimo, al variare della retta del fascio di centro $P$, non può scendere al di sotto di $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})$, ma da che cosa discende l'uguaglianza?
Sperando che qualcuno possa gettarmi un salvagente ringrazio tutti $oo$-mente!!!
*E. Sernesi, Geometria I, [34.17].
Risposte
Se "vedo" bene, basta ragionare coi polinomi che ti determinano le date curve piane!
Grazie di cuore, Armando!!!
Credo però che il freddo mi stia impedendo la circolazione cerebrale perché non realizzo come questo accada...
Diciamo che le equazioni, rispettivamente, sono
$\mathcal{C}:f(\mathbf{X})=0$ e $\mathcal{D}:g(\mathbf{X})=0$ e quindi $\mathcal{C}+\mathcal{D}:f(\mathbf{X})g(\mathbf{X})=0$
Una generica retta rispettivamente affine o proiettiva che passa per \(P=(p_1,p_2)\in\mathbf{A}^2\) o \(P=[p_0,p_1,p_2]\in\mathbf{P}^2\) e per un altro punto \(Q=(q_1,q_2)\in\mathbf{A}^2\) o \(Q=[q_0,q_1,q_2]\in\mathbf{P}^2\) ha per molteplicità di intersezione in $P$ la molteplicità della radice $t=0$ nell'equazione ottenuta sostituendo $P+tQ$ a $\mathbf{X}$ nell'equazione della curva, e il punto $Q$ che minimizza questa molteplicità è quello per cui passa la retta che realizza il minimo $m_P$. Credo di non aver detto stupidate, fin qui.
La disuguaglianza che ho scritto opra mi è chiara, ma come faccio a sapere che vale anche $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\leq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$? Forse che, se $Q$ minimizza la molteplicità della radice $t=0$ per l'equazione \(f(P+tQ)g(P+tQ)=0\), la minimizza necessariamente anche sia per \(f(P+tQ)=0\) sia per \(g(P+tQ)=0\)?
Non avendo trovato niente a riguardo nonostante le mie disperate ricerche su Internet, avevo persino cominciato a pensare all'eventualità di un refuso... Non sai quanto ti sono grato per la tua risposta che mi fa scartare quest'ipotesi.
$+oo$ grazie di nuovo, a te e a chiunque altro voglia partecipare al thread!!!!
Credo però che il freddo mi stia impedendo la circolazione cerebrale perché non realizzo come questo accada...
Diciamo che le equazioni, rispettivamente, sono
$\mathcal{C}:f(\mathbf{X})=0$ e $\mathcal{D}:g(\mathbf{X})=0$ e quindi $\mathcal{C}+\mathcal{D}:f(\mathbf{X})g(\mathbf{X})=0$
Una generica retta rispettivamente affine o proiettiva che passa per \(P=(p_1,p_2)\in\mathbf{A}^2\) o \(P=[p_0,p_1,p_2]\in\mathbf{P}^2\) e per un altro punto \(Q=(q_1,q_2)\in\mathbf{A}^2\) o \(Q=[q_0,q_1,q_2]\in\mathbf{P}^2\) ha per molteplicità di intersezione in $P$ la molteplicità della radice $t=0$ nell'equazione ottenuta sostituendo $P+tQ$ a $\mathbf{X}$ nell'equazione della curva, e il punto $Q$ che minimizza questa molteplicità è quello per cui passa la retta che realizza il minimo $m_P$. Credo di non aver detto stupidate, fin qui.
La disuguaglianza che ho scritto opra mi è chiara, ma come faccio a sapere che vale anche $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\leq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$? Forse che, se $Q$ minimizza la molteplicità della radice $t=0$ per l'equazione \(f(P+tQ)g(P+tQ)=0\), la minimizza necessariamente anche sia per \(f(P+tQ)=0\) sia per \(g(P+tQ)=0\)?
Non avendo trovato niente a riguardo nonostante le mie disperate ricerche su Internet, avevo persino cominciato a pensare all'eventualità di un refuso... Non sai quanto ti sono grato per la tua risposta che mi fa scartare quest'ipotesi.
$+oo$ grazie di nuovo, a te e a chiunque altro voglia partecipare al thread!!!!
"DavideGenova":Esagerato!
Grazie di cuore, Armando!!!...
"DavideGenova":Guardando gli appunti ti propongo di scomporre i polinomi in gioco.
...ma come faccio a sapere che vale anche $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\leq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$?...
"DavideGenova":Tieni conto che il Sernesi ha i suoi errori, e non è detto che io abbia ragione.
...Non sai quanto ti sono grato per la tua risposta che mi fa scartare quest'ipotesi.
$+oo$ grazie di nuovo, a te e a chiunque altro voglia partecipare al thread!!!!
Prego, di nulla!
"j18eos":
Tieni conto che il Sernesi ha i suoi errori, e non è detto che io abbia ragione.
Eh, sì, me ne sono accorto...
Il paragrafo 36, finale del primo volume, mi ha fatto penare da ieri sera ad oggi: meno male che ho trovato questo .pdf che è praticamente un'errata corrige di quel paragrafo. Se non l'avessi trovato sarei ancora qua a cercare di dimostrare cose false senza esito o magari convincendomi di qualcosa di completamente sbagliato...!Grazie ancora!!!!!
Volendo utilizzare la sola intuizione geometrica: dato che unisci due curve algebriche, il problema è da controllare nei soli punti in comune alle due curve; sempre a intuito geometrico, si vede che non ci sono problemi sulla molteplicità!
Oppure sbaglio?
E com'è finita la storia di questo esercizio?
Oppure sbaglio?
E com'è finita la storia di questo esercizio?
"j18eos":
controllare nei soli punti in comune alle due curve; sempre a intuito geometrico, si vede che non ci sono problemi sulla molteplicità!
Certo, capisco che bisogna controllare i soli punti comuni, perché mi è chiaro che $P\notin\mathcal{D}\Rightarrow m_P(\mathcal{D}\)=0\Rightarrow m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D}\)=m_P(\mathcal{C}\)$.
Però non vedo che cosa mi potrebbe garantire che se un punto \(Q[q_0,q_1,q_2]\) minimizza la molteplicità della radice $ t=0 $ per \( f(P+tQ)g(P+tQ)=0 \), la minimizza necessariamente anche sia per \( f(P+tQ)=0 \) sia per \( g(P+tQ)=0 \), che sarebbe condizione sufficiente a quanto cerco di dimostrare...
Del mio intuito è meglio non fidarsi, ché non posso dire di non avere le idee chiare perché non ho idee in merito...
"j18eos":
Oppure sbaglio?
Non credo affatto: sono io ad essere duro di comprendonio.
"j18eos":
E com'è finita la storia di questo esercizio?
Beh, non è finita
Io al tuo posto, proverei un attimo a sviluppare l'intuito con due rette incidenti, poi passare al formalismo; può darsi che così prendi due piccioni con una fava.
P.S.: mi scuso se non mi sporco le mani col tuo esercizio, ma sono preso dai miei studi e dal lavoro; non mi sento inoltre tanto sicuro di quello che scrivo.
P.S.: mi scuso se non mi sporco le mani col tuo esercizio, ma sono preso dai miei studi e dal lavoro; non mi sento inoltre tanto sicuro di quello che scrivo.
Scusa di che?! Grazie a te, piuttosto, per ogni suggerimento ed idea!!!
Com'è andata con le rette?
Se hai concluso bene, passa allo studio della curva \(y^2-x^4=0\); con questo curva devi fare i calcoli, riusscendoci devo fare lo stesso calcolo per il caso generale.
Se hai concluso bene, passa allo studio della curva \(y^2-x^4=0\); con questo curva devi fare i calcoli, riusscendoci devo fare lo stesso calcolo per il caso generale.
Grazie per essere intervenuto di nuovo! 
Se $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ sono due rette incidenti in $P$ direi proprio che qualunque altra retta $r$ passante per $P$ abbia molteplicità di intersezione rispettivamente $I(\mathcal{C},r;P)=1$ e $I(\mathcal{D},r;P)=1$ se diversa da entrambe le rette e invece $I(\mathcal{C},r;P)=oo$ o $I(\mathcal{D},r;P)=oo$ se coincidente con una delle due rette. Qualunque retta $r$ diversa da $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ realizza le molteplicità di intersezione $I(\mathcal{C},r;P)=1=I(\mathcal{D},r;P)$ per entrambe le rette $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ (la stessa $r$ per entrambe) e quindi la molteplicità di $P$ per entrambe le rette è $m_P(\mathcal{C})=1=m_P(\mathcal{D})$, quindi questa stessa $r$ realizza per $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ il minimo della molteplicità di intersezione $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})=2$.
Per quanto riguarda $\mathcal{C}+\mathcal{D}:y^2-x^4=0$ con $\mathcal{C}:y+x^2=0$ e $\mathcal{D}:y-x^2=0$ che si intersecano in \(P(0,0)\), si vede subito dalla derivata prima rispetto a $y$ che $m_{P(0,0)}(\mathcal{C})=1=m_{P(0,0)}(\mathcal{D})$, mentre, sempre dall'osservazione della derivata seconda rispetto a $y$ dell'equazione, vedo che $m_{P(0,0)}(\mathcal{C}+\mathcal{D})=2$, concordemente a quanto dice la formula del libro, il quale lascia al lettore la facile (sic) dimostrazione suggerendo di considerare che, per ogni retta $r$ e punto $P$ del piano, affine o proiettivo, $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$, ma da questo, come dicevo, io riesco a ricavare solo una disuguaglianza...
Tuttavia, non saprei come generalizzare...
Se $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ sono due rette incidenti in $P$ direi proprio che qualunque altra retta $r$ passante per $P$ abbia molteplicità di intersezione rispettivamente $I(\mathcal{C},r;P)=1$ e $I(\mathcal{D},r;P)=1$ se diversa da entrambe le rette e invece $I(\mathcal{C},r;P)=oo$ o $I(\mathcal{D},r;P)=oo$ se coincidente con una delle due rette. Qualunque retta $r$ diversa da $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ realizza le molteplicità di intersezione $I(\mathcal{C},r;P)=1=I(\mathcal{D},r;P)$ per entrambe le rette $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ (la stessa $r$ per entrambe) e quindi la molteplicità di $P$ per entrambe le rette è $m_P(\mathcal{C})=1=m_P(\mathcal{D})$, quindi questa stessa $r$ realizza per $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ il minimo della molteplicità di intersezione $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})=2$.Per quanto riguarda $\mathcal{C}+\mathcal{D}:y^2-x^4=0$ con $\mathcal{C}:y+x^2=0$ e $\mathcal{D}:y-x^2=0$ che si intersecano in \(P(0,0)\), si vede subito dalla derivata prima rispetto a $y$ che $m_{P(0,0)}(\mathcal{C})=1=m_{P(0,0)}(\mathcal{D})$, mentre, sempre dall'osservazione della derivata seconda rispetto a $y$ dell'equazione, vedo che $m_{P(0,0)}(\mathcal{C}+\mathcal{D})=2$, concordemente a quanto dice la formula del libro, il quale lascia al lettore la facile (sic) dimostrazione suggerendo di considerare che, per ogni retta $r$ e punto $P$ del piano, affine o proiettivo, $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$, ma da questo, come dicevo, io riesco a ricavare solo una disuguaglianza...
Tuttavia, non saprei come generalizzare...
Mi ripeto, sei su un campo algebricamente chiuso quindi ogni polinomio è scomponibile in un prodotto di polinomi di I grado; scomponendo i polinomi in gioco risolvi, ora ne sono convinto!
"j18eos":
ogni polinomio è scomponibile in un prodotto di polinomi di I grado
So che questo vale per polinomi omogenei in due incognite, ma in generale credo di non seguirti...
Scusami, mi sa che 'sto raffreddore che non se ne vuole andare sta stroncando il poco che ho di abilità matematica...
Naturalmente non stai dicendo che ogni curva algebrica piana è necessariamente riducibile con rette come componenti irriducibili, giusto?
Ieri sera, nel dormiveglia, ho pensato a questa cosetta: in un punto $P$ del piano affine \(\mathbf{A}(\mathbb{K}^2)\) o proiettivo \(\mathbf{P}(\mathbb{K}^3)\), come i punti comuni delle nostre curve $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$, se \(\mathbb{K}\) è un sottocampo di \(\mathbb{C}\) con caratteristica 0 -com'è nelle ipotesi del Sernesi, cosa che mi scuso di non aver specificato, ma il mio libro utilizza sempre questo tipo di campi-, passano, direi, infinite rette. Di esse, per qualunque curva $\mathcal{C}$, solo un numero finito $\xi\leq m_P(\mathcal{C})$ possono essere tangenti principali, quindi con molteplicità di intersezione maggiore di $m_P(\mathcal{C})$. Nell'insieme infinito delle rette passanti per $P$ che non sono tangenti principali ce ne saranno quindi infinite che realizzano il minimo $m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C+D})$. Sto dando i numeri?
Tante grazie quante mi pare siano le rette che passano per $P$!
Sì, ho sbagliato! 
Ci penserò a mente fresca.
Ci penserò a mente fresca.
Stavolta ti ringrazio io a te perché:[list=1][*:3bqodcch]mi hai fatto tornare il piacere di occuparmi della geometria algebrica,[/*:m:3bqodcch][*:3bqodcch]e il desisderio di diventare un Atiyah(*);[/*:m:3bqodcch][*:3bqodcch]ho capito alcuni errori che ho fatto nello studiare la geometria algebrica, e meno male che insegno agli altri di non farli... non scendo nei particolari;[/*:m:3bqodcch][*:3bqodcch]mi sono sbloccato come matematico![/*:m:3bqodcch][/list:o:3bqodcch]
Venendo al problema, quando ti ho scritto di scomporre il polinomio in polinomi di grado \(1\), senza che l'avessi capito manco io, mi riferivo ai polinomi \(f(P+tQ)\) e \(g(P+tQ)\); ove l'indeterminata è \(t\), mentre \(P\) e \(Q\) sono le coordinate (affini o proiettive) dei fissati punti!
Ti torna ora?
§§§
(*) Sognare non fa male!
Venendo al problema, quando ti ho scritto di scomporre il polinomio in polinomi di grado \(1\), senza che l'avessi capito manco io, mi riferivo ai polinomi \(f(P+tQ)\) e \(g(P+tQ)\); ove l'indeterminata è \(t\), mentre \(P\) e \(Q\) sono le coordinate (affini o proiettive) dei fissati punti!
Ti torna ora?
§§§
(*) Sognare non fa male!
Sono contento di averti fatto riscoprire il fascino della geometria algebrica! È veramente bella, come tutta la geometria, del resto...
Sì, così direi che posso vedere che la molteplicità di intersezione delle nostre curve con una retta $r$ in $P$ soddisfa $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$, proprio perché questa quantità è proprio la molteplicità di $t=0$ come radice del prodotto dei due polinomi. Per il passo successivo, cioè capire perché $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$ (dove $m_P(\mathcal{C})=$\(\min_{r\ni P}\)$I(\mathcal{C},r;P)$ è la molteplicità di $\mathcal{C}$ in $P$), condizione sufficiente sarebbe che esista una retta $r$ che minimizzi contemporaneamente queste tre $I$. Il ragionamento che ho fatto pensando che per $P$ passano infinite rette a causa dell'infinità di \(\mathbb{K}\subset\mathbb{C}\) è sbagliato?
Grazie di cuore ancora...
"j18eos":
Venendo al problema, quando ti ho scritto di scomporre il polinomio in polinomi di grado \(1\), senza che l'avessi capito manco io, mi riferivo ai polinomi \(f(P+tQ)\) e \(g(P+tQ)\); ove l'indeterminata è \(t\), mentre \(P\) e \(Q\) sono le coordinate (affini o proiettive) dei fissati punti
Sì, così direi che posso vedere che la molteplicità di intersezione delle nostre curve con una retta $r$ in $P$ soddisfa $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$, proprio perché questa quantità è proprio la molteplicità di $t=0$ come radice del prodotto dei due polinomi. Per il passo successivo, cioè capire perché $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$ (dove $m_P(\mathcal{C})=$\(\min_{r\ni P}\)$I(\mathcal{C},r;P)$ è la molteplicità di $\mathcal{C}$ in $P$), condizione sufficiente sarebbe che esista una retta $r$ che minimizzi contemporaneamente queste tre $I$. Il ragionamento che ho fatto pensando che per $P$ passano infinite rette a causa dell'infinità di \(\mathbb{K}\subset\mathbb{C}\) è sbagliato?
Grazie di cuore ancora...
Ho letto sulle dispense del prof. Manetti di geometria algebrica che devi utilizzare il discriminante di 2 polinomi per dimostrare l'eguaglianza!
Algebricamente neanch'io riesco ad andare oltre la diseguaglianza.
Algebricamente neanch'io riesco ad andare oltre la diseguaglianza.
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