Molteplicità geometrica e algebrica
ciao a tutti!!non mi è molto chiara la dimostrazione della disuguaglianza 1$<=$g($\lambda$)$<=$a($\lambda$)$<=$n....qualcuno mi saprebbe aiutare??grazie mille!!
Risposte
Dice semplicemente che la molteplicità geometria è al più uguale alla molteplicità algebrica dell'autovalore e ovviamente se esiste un autovalore allora la dimensione dell'autospazio è almeno 1 (ho appena fatto l'esame e mi sono dimenticato l'uno)!
Come saprai, se in una stanza ci sono $n$ matematici, vi saranno almeno $n!$ modi diversi per indicare la stessa cosa... Quindi è bene spiegare le proprie notazioni.
Tuttavia mi sembra di intuire che stai chiedendo la dimostrazione di questo fatto:
se $lambda$ è autovalore per $phi:V->V$ ($n=dim(V)$);
$1<=$ molteplicità geometrica (nullità) di $lambda$ $<=$ molteplicità algebrica (molteplicità) di $lambda<= n$
(1) La prima disuguaglianza è vera perchè, se $lambda$ è autovalore di autovettore $v$, (sto dicendo che $phi(v)=lambdav$) ogni vettore del tipo $kv$ è autovettore ($phi(kv)=kphi(v)=klambdav=lambda(kv)$) e quindi $lambda$ è associato ad un autospazio di dimensione (almeno) $1$.
(2) Sia $alpha$ autovalore per $phi$, consideriamo l'autospazio di $alpha$ (chiamiamolo $V_alpha$). Prendiamo una base di $V_alpha$ e completiamola a base di $V$. Scriviamo la matrice di $phi$ rispetto a questa base:
$A=((B,C),(0,D))$
se ci si pensa un attimo, si ottiene una matrice a blocchi, con $B$ matrice diagonale (sulla diagonale ha $alpha$) di ordine la dimensione di $V_alpha$ (cioè la nullità di $alpha$, chiamiamola $m$). Infatti $B$ è il blocco associato a $V_alpha$!.
Calcoliamo ora il polinomio caratteristico di $phi$ attraverso la matrice $A$. Poichè $A$ è a blocchi, abbiamo:
$det(Ix-A)=(Ix-alpha)^mdet(Ix-D)$. Cioè nel polinomio caratteristico la molteplicità di $alpha$ è (almeno) $m$ (da cui la disuguaglianza). Se $alpha$ fosse zero anche di $det(Ix-D)$, la sua molteplicità sarebbe strettamente maggiore di $m$.
(3) L'ultima disuguaglianza è banalmente vera...
Questa è la dimostrazione, che si trova su ogni libro di algebra lineare... Qual'è il punto oscuro?
Tuttavia mi sembra di intuire che stai chiedendo la dimostrazione di questo fatto:
se $lambda$ è autovalore per $phi:V->V$ ($n=dim(V)$);
$1<=$ molteplicità geometrica (nullità) di $lambda$ $<=$ molteplicità algebrica (molteplicità) di $lambda<= n$
(1) La prima disuguaglianza è vera perchè, se $lambda$ è autovalore di autovettore $v$, (sto dicendo che $phi(v)=lambdav$) ogni vettore del tipo $kv$ è autovettore ($phi(kv)=kphi(v)=klambdav=lambda(kv)$) e quindi $lambda$ è associato ad un autospazio di dimensione (almeno) $1$.
(2) Sia $alpha$ autovalore per $phi$, consideriamo l'autospazio di $alpha$ (chiamiamolo $V_alpha$). Prendiamo una base di $V_alpha$ e completiamola a base di $V$. Scriviamo la matrice di $phi$ rispetto a questa base:
$A=((B,C),(0,D))$
se ci si pensa un attimo, si ottiene una matrice a blocchi, con $B$ matrice diagonale (sulla diagonale ha $alpha$) di ordine la dimensione di $V_alpha$ (cioè la nullità di $alpha$, chiamiamola $m$). Infatti $B$ è il blocco associato a $V_alpha$!.
Calcoliamo ora il polinomio caratteristico di $phi$ attraverso la matrice $A$. Poichè $A$ è a blocchi, abbiamo:
$det(Ix-A)=(Ix-alpha)^mdet(Ix-D)$. Cioè nel polinomio caratteristico la molteplicità di $alpha$ è (almeno) $m$ (da cui la disuguaglianza). Se $alpha$ fosse zero anche di $det(Ix-D)$, la sua molteplicità sarebbe strettamente maggiore di $m$.
(3) L'ultima disuguaglianza è banalmente vera...
Questa è la dimostrazione, che si trova su ogni libro di algebra lineare... Qual'è il punto oscuro?
Prendiamo un endomorfismo $phi:V\toV$, che ammette l'autovalore $lambda$ con moltplicità algebrica $k$. Se la dimensione di $V$ è $n$, possiamo allora trovare una base di $V$ i cui primi $k$ vettori sono $lambda$-autovettori di $phi$.Costruiamo la matrice associata a $phi$ in questa base:
$A=[[lambda,...,0, **, ..., **], [,ddots,,,,],[0, ldots, lambda, **, ..., **],[0, ldots, 0, **, ldots, **],[vdots, , vdots, vdots,, vdots],[0, ldots, 0, **, ldots, **]]$
Hai $k$ colonne con una sola entrata $lambda$ e le altre nulle, e $n-k$ colonne (quelle piene di $**$) in cui può esserci di tutto. Questo perché i primi $k$ vettori della base sono $lambda$-autovettori.
Il polinomio caratteristico di $phi$ lo puoi calcolare anche come polinomio caratteristico di $A$, in altre parole i polinomi $P_phi(t)$ e $P_A(t)$ sono uguali. Dalla forma di $A$ puoi vedere che $P_A(t)=(lambda-t)^k*R(t)$, dove $R$ è un polinomio di grado $n-k$. Quindi il fattore $(lambda-t)$ compare nella fattorizzazione del polinomio caratteristico con molteplicità almeno $k$, ovvero la moltplicità algebrica di $lambda$ è almeno $k$.
$A=[[lambda,...,0, **, ..., **], [,ddots,,,,],[0, ldots, lambda, **, ..., **],[0, ldots, 0, **, ldots, **],[vdots, , vdots, vdots,, vdots],[0, ldots, 0, **, ldots, **]]$
Hai $k$ colonne con una sola entrata $lambda$ e le altre nulle, e $n-k$ colonne (quelle piene di $**$) in cui può esserci di tutto. Questo perché i primi $k$ vettori della base sono $lambda$-autovettori.
Il polinomio caratteristico di $phi$ lo puoi calcolare anche come polinomio caratteristico di $A$, in altre parole i polinomi $P_phi(t)$ e $P_A(t)$ sono uguali. Dalla forma di $A$ puoi vedere che $P_A(t)=(lambda-t)^k*R(t)$, dove $R$ è un polinomio di grado $n-k$. Quindi il fattore $(lambda-t)$ compare nella fattorizzazione del polinomio caratteristico con molteplicità almeno $k$, ovvero la moltplicità algebrica di $lambda$ è almeno $k$.
"dissonance":
Il polinomio caratteristico di $phi$ lo puoi calcolare anche come polinomio caratteristico di $A$, in altre parole i polinomi $P_phi(t)$ e $P_A(t)$ sono uguali.
Sto studiando anche io questa dimostrazione, ma mi sfugge la giustificazione/dimostrazione di questo fatto
E' proprio per definizione. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo, per definizione, è il polinomio caratteristico di una qualsiasi matrice ad esso associata.
Ti ringrazio dissonance. Avevo confuso i simboli.
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