Molteplicità algebrica/geometrica, diagonalizzabilità
salve, dovrei dimostrare che una matrice è diagonalizzabile... ho letto la teoria nel libro ma non mi è chiaro anche perchè non ci sono esempi... mi potreste spiegare voi come faccio?.... nel libro parla di molteplicità algebrica e geometrica, cose che non ho nemmeno chiare....
Risposte
La prima cosa da fare è calcolare il polinomio caratteristico, ovvero il determinante di $A-lambda I_n=0$ ove $lambda$ è l'indeterminata. Una volta determinato prova a scomporlo in fattori lineari (se possibile) e postalo così ne discutiamo insieme!
ok
f(x)=$((0,0,1),(-1,1,1),(0,0,1)) x$
quindi $p_(f) (x)= det(A-xI_3)=((-x,0,1),(-1,1-x,1),(0,0,1-x))$
risolvendo
$lambda_1=0$
$lambda_2=1$
l'autospazio associato al primo è $V_0$ e posso fare la moltiplicazione tra la matrice e $x_1 , x_2 x_3$ , ottengo che $x_2$ e $x_1$ sono uguali e $x_3=0$, quindi che la dimensione è 1 perchè $ V_0=L((1),(1),(0))
l'autospazio associato al secondo è $ V_1$
stesse considerazioni e ottengo $L(((1),(0),(1)) ((0),(1),(0)))
f(x)=$((0,0,1),(-1,1,1),(0,0,1)) x$
quindi $p_(f) (x)= det(A-xI_3)=((-x,0,1),(-1,1-x,1),(0,0,1-x))$
risolvendo
$lambda_1=0$
$lambda_2=1$
l'autospazio associato al primo è $V_0$ e posso fare la moltiplicazione tra la matrice e $x_1 , x_2 x_3$ , ottengo che $x_2$ e $x_1$ sono uguali e $x_3=0$, quindi che la dimensione è 1 perchè $ V_0=L((1),(1),(0))
l'autospazio associato al secondo è $ V_1$
stesse considerazioni e ottengo $L(((1),(0),(1)) ((0),(1),(0)))
Bene. Hai però omesso un dato fondamentale. Qual è la molteplicità algebrica di $lambda_1,lambda_2$, ovvero quante volte compaiono come radici di $p_f(x)$?
nel senso che $lambda_1$ è un autovalore semplice, $lambda_2$ è un autovalore doppio, quindi la molteplicità algebrica è 1 e 2??
Esatto. E poichè le molteplicità algebriche e geometriche coincidono per ciascuno di essi si ha che la matrice è diagonalizzabile!
e quella geometrica quale sarebbe
La dimensione dell'autospazio relativo!
no scusa, non mi è chiaro -,-
la molteplicità algebrica è 1 e 2
quella geometrica non ho capito da dove prenderla
quella geometrica non ho capito da dove prenderla
niente capito. grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo