Molteplicita' algebrica / geometrica

[nikel93]

Perche' se per ogni autovalore dell'endomorfismo f le molteplicità geometrica ed algebrica coincidono allora la somma diretta degli autospazi relativi è uguale sllo spazio vettoriale V (dato f:V-->V endomorfismo) ???

[Emar1]

Provo a darti una spiegazione un po' alla buona. Spero che si capisca qualcosa.

La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio [tex]\mathbf{V}_{\lambda}[/tex] relativo all'autovalore $\lambda$:
[tex]g_{\lambda} = dim(\mathbf{V}_{\lambda})[/tex]

Se almeno un autovalore ha molteplicità algebrica maggiore di 1, la somma degli autovalori distinti è minore di $n = dim(\mathbf{V})$. Per far sì che la somma diretta degli autospazi (uno per autovalore distinto) sia uguale a $n$ è necessario che vi siano degli autospazi con dimensione maggiore di 1. Dato che la molteplicità geometrica è compresa uguale tra 0 e la molteplicità algebrica ([tex]1 \leq g_{\lambda} \leq a_{\lambda}[/tex]), devono essere per forza gli autospazi relativi agli autovalori multipli ad avere dimensione maggiore di 1.

Se ci pensi bene, proprio quando le due molteplicità coincidono, la somma delle dimensioni degli autospazi è $n$.