Molteplicità algebrica

[alessio_baiocco]

Salve, il testo di una domanda di un esame di geometria recitava: data una matrice 3x3 (incognita), con autovalori 1 (con molteplicità algebrica 2) e 0 (con molteplicità algebrica 1), dimostrare che la matrice fosse diagonalizzabile. Io ho letto che considerando il numero degli autovalori (molteplicità compresa) se è uguale all'ordine della matrice in considerazione, tale matrice è diagonalizzabile. Il fatto è che non sono sicuro se tutto ciò basta a rispondere, come faccio a motivare la mia risposta?

[Jokah]

Esistono delle matrici \(3x3\) siffatte non diagonalizzabili. L'ipotesi è falsa, e lo puoi dimostrare tramite un controesempio

\(\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)\)

Ne è un esempio. Poiché la matrice è triangolare superiore gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale. Sono allora \(1, 0\) rispettivamente con molteplicità algebrica \(2, 1\). Mostriamo che non è diagonalizzabile. Per trovare l'autospazio relativo all'autovalore \(1\) devi semplicemente individuare il nucleo della seguente applicazione:

\(\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}\right)\)

Cioè sono tutti quei vettori per cui:

\(y + z = 0\)
\(z = 0\)

Cioè tutti quelli per cui \(y = z = 0\)

E sono tutti e soli quelli della forma \((x, 0, 0)\), cioè sono paralleli a \((1, 0, 0)\)

L'autospazio ha dimensione \(1\), a fronte di una molteplicità algebrica pari a \(2\). La matrice, pur avendo come autovalori \(1\) con molteplicità algebrica \(2\) e \(0\) con molteplicità algebrica \(1\), non è diagonalizzabile.

[alessio_baiocco]

A posto grazie , ora è tutto chiaro u.u