[modificato] Teorema di chiusura-complemento di Kuratowski
Questo esercizio è tratto dal libro di J.Munkres Topology, è il 21° del secondo capitolo.
Consideriamo la famiglia $P(X)$ di tutti i sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$. Le operazioni di complementazione $A\mapstoX-A$ e di chiusura $A\mapstobarA$ sono funzioni di $P(X)$ in sé.
a) Dimostrare che partendo da un $A\subX$ non è possibile formare più di 14 insiemi distinti applicando queste due operazioni consecutivamente.
b) Trovare un sottoinsieme di $RR$ (con la topologia naturale) per cui è raggiunto il massimo di 14.
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Bello eh? Se poi si riuscisse anche a risolvere... Io non ci riesco, qualche idea?
P.S.: Questo esercizio è in realtà un teorema di K. Kuratowski.
Risposte
Il Munkres a volte fa davvero problemi impossibili...ma è davvero un libro eccezionale...
Boh, provo a pensarci e ti faccio sapere, ma non ti garantisco nulla...
Boh, provo a pensarci e ti faccio sapere, ma non ti garantisco nulla...
vorrei un chiarimento: magari non è proprio alla mia portata, però penso sia importante per chiunque voglia cimentarsi.
dice partendo da un sottoinsieme A, [quindi immagino che non si possa partire da più di un sottoinsieme, anche perché in tal caso il limite non sarebbe rispettato], però:
si possono considerare entrambe le sequenze, cioè quella che inizia con l'operazione di complementazione e quella che inizia con l'operazione di chiusura?
in altri termini, tra questi insiemi posso prendere,
oltre ad $A$, sia $barA, X-barA, bar(X-barA), X-bar(X-barA), ...$ sia $X-A, bar(X-A), X-bar(X-A), bar(X-bar(X-A)), ...$ ?
oppure solo una delle due sequenze?
ciao.
dice partendo da un sottoinsieme A, [quindi immagino che non si possa partire da più di un sottoinsieme, anche perché in tal caso il limite non sarebbe rispettato], però:
si possono considerare entrambe le sequenze, cioè quella che inizia con l'operazione di complementazione e quella che inizia con l'operazione di chiusura?
in altri termini, tra questi insiemi posso prendere,
oltre ad $A$, sia $barA, X-barA, bar(X-barA), X-bar(X-barA), ...$ sia $X-A, bar(X-A), X-bar(X-A), bar(X-bar(X-A)), ...$ ?
oppure solo una delle due sequenze?
ciao.
@ adaBTTLS: eh me lo chiedevo anch'io... in sostanza tu dici: devo partire con la complementazione o con la chiusura? Il testo dell'esercizio che ho riportato è la traduzione praticamente letterale, quindi penso che intenda di partire con la complementazione, cioè con la seconda delle tue sequenze.
io in realtà mi chiedevo se fosse possibile considerarle entrambe... magari 6 di una delle due sequenze e 7 di un'altra, + A, fa 14...
perché in realtà a me sembra enorme il numero 14, se si può partire solo da un sottoinsieme.
io, infatti, se volessi cimentarmi, proverei a partire dalla seconda parte:
si parla di topologia naturale, cioè quella euclidea?
e lo spazio $X=RR$ ? non un sottoinsieme ?
ciao.
perché in realtà a me sembra enorme il numero 14, se si può partire solo da un sottoinsieme.
io, infatti, se volessi cimentarmi, proverei a partire dalla seconda parte:
si parla di topologia naturale, cioè quella euclidea?
e lo spazio $X=RR$ ? non un sottoinsieme ?
ciao.
Ecco il testo originale:
@adaBTTLS: Per come ho capito io, c'è da fare questo: preso un $A\subX$, dimostrare che l'insieme $Y_A={A, X-A, bar(X-A), X-bar(X-A), bar(X-bar(X-A)), ...}$ contiene al più 14 elementi. Poi bisogna trovare un $A\subRR$ tale che $Y_A$ ha esattamente 14 elementi.
Quindi non credo che vadano bene sequenze miste. Che 14 sia un numero proprio strano è vero, comunque...chissà da dove salta fuori...
Io comunque comincerei cambiando notazione: se usiamo $barA$ per la chiusura e $X-A$ per il complementare dopo pochi passi non si capisce più nulla. Quindi direi di scrivere $A^C=X-A, "Cl"(A)=barA, "Int"(A)=A^circ$ (interno). Un teorema che penso ci sarà utile è questo:
$"Cl"(A^C)=("Int"(A))^C, "Int"(A^C)=("Cl"(A))^C$, cioè interno e chiusura si scambiano quando passiamo al complementare.
Con questo teorema si vede che, se $A$ è aperto oppure chiuso, allora $Y_A$ ha esattamente due elementi distinti. Se infatti $A$ è aperto, $A^C$ è chiuso: allora $"Cl"(A^C)=A^C$ e $("Cl"(A^C))^C=A^C^C=A$. Se invece $A$ è chiuso, $A^C$ è aperto, applicando il teorema di prima $"Cl"(A^C)=("Int"(A))^C=A^C$ e passando al complementare ritroviamo $A$. In entrambi i casi $Y_A={A, A^C}$.
Quindi, se vogliamo partire dal punto b), dobbiamo cercare tra i sottoinsiemi di $RR$ né aperti né chiusi. Sinceramente non credo che abbiamo qualche possibilità, andando alla cieca.
*21. (Kuratowski) Consider the collection of all subsets A of the topological space X.
The operations of closure $A \mapsto barA$ and complementation $A \mapsto X - A$ are functions
from this collection to itself.
(a) Show that starting with a given set A, one can form no more than 14 distinct
sets by applying these two operations successively.
(b) Find a subset A of R (in its usual topology) for which the maximum of 14 is
obtained.
@adaBTTLS: Per come ho capito io, c'è da fare questo: preso un $A\subX$, dimostrare che l'insieme $Y_A={A, X-A, bar(X-A), X-bar(X-A), bar(X-bar(X-A)), ...}$ contiene al più 14 elementi. Poi bisogna trovare un $A\subRR$ tale che $Y_A$ ha esattamente 14 elementi.
Quindi non credo che vadano bene sequenze miste. Che 14 sia un numero proprio strano è vero, comunque...chissà da dove salta fuori...
Io comunque comincerei cambiando notazione: se usiamo $barA$ per la chiusura e $X-A$ per il complementare dopo pochi passi non si capisce più nulla. Quindi direi di scrivere $A^C=X-A, "Cl"(A)=barA, "Int"(A)=A^circ$ (interno). Un teorema che penso ci sarà utile è questo:
$"Cl"(A^C)=("Int"(A))^C, "Int"(A^C)=("Cl"(A))^C$, cioè interno e chiusura si scambiano quando passiamo al complementare.
Con questo teorema si vede che, se $A$ è aperto oppure chiuso, allora $Y_A$ ha esattamente due elementi distinti. Se infatti $A$ è aperto, $A^C$ è chiuso: allora $"Cl"(A^C)=A^C$ e $("Cl"(A^C))^C=A^C^C=A$. Se invece $A$ è chiuso, $A^C$ è aperto, applicando il teorema di prima $"Cl"(A^C)=("Int"(A))^C=A^C$ e passando al complementare ritroviamo $A$. In entrambi i casi $Y_A={A, A^C}$.
Quindi, se vogliamo partire dal punto b), dobbiamo cercare tra i sottoinsiemi di $RR$ né aperti né chiusi. Sinceramente non credo che abbiamo qualche possibilità, andando alla cieca.
La butto là: immaginiamo che $X-A$, $A$, $C(X)$, $C(A)$ siano delle lampadine, dove con $C(Y)$ intendo $barY-Y$. Chiudendo e complementando si dovrebbero riuscire ad ottenere tutte le combinazioni di accensione-spegnimento delle lampadine (ad esempio l'insieme $C(X)+C(A)$). Avendo 4 lampadine, ci sono $2^4=16$ possibili combinazioni, a cui sottrarre $X$ e $barX$ che sono palesemente irraggiungibili.
secondo me l'ordine non è stabilito, e puoi anche fare successioni con tanti elementi ripetuti, l'importante è contare quelli distinti: se applichi due volte di seguito la chiusura è come se l'applicassi una sola volta, ma applicando due volte di seguito la complementazione ti riporta indietro... va bene, avevo avuto un'idea che comunque contrasta con quella che è la tua interpretazione...
secondo me significa che possiamo "muoverci in tutte le direzioni", ripetere quante volte ci pare questi operatori (basta che usiamo solo questi due), partendo da quello che ci pare.
atrimenti, a naso, mi sembra banale la prima parte e impossibile la seconda.
nella tua sequenza, al massimo A e X-A possono essere né aperti né chiusi, ma dalla prima volta che applichi l'operatore di chiusura entri in un giro vizioso di alternanza di chiusi e aperti che si ripetono, se non sbaglio, ogni 4 (quindi sono 6?)... quindi nell'altra sequenza dovrebbero essere 5?...
ciao.
secondo me significa che possiamo "muoverci in tutte le direzioni", ripetere quante volte ci pare questi operatori (basta che usiamo solo questi due), partendo da quello che ci pare.
atrimenti, a naso, mi sembra banale la prima parte e impossibile la seconda.
nella tua sequenza, al massimo A e X-A possono essere né aperti né chiusi, ma dalla prima volta che applichi l'operatore di chiusura entri in un giro vizioso di alternanza di chiusi e aperti che si ripetono, se non sbaglio, ogni 4 (quindi sono 6?)... quindi nell'altra sequenza dovrebbero essere 5?...
ciao.
"adaBTTLS":
nella tua sequenza, al massimo A e X-A possono essere né aperti né chiusi, ma dalla prima volta che applichi l'operatore di chiusura entri in un giro vizioso di alternanza di chiusi e aperti che si ripetono, se non sbaglio, ogni 4 (quindi sono 6?)... quindi nell'altra sequenza dovrebbero essere 5?...
Hai perfettamente ragione: infatti secondo un conticino che stavo facendo la lunghezza massima della sequenza come l'ho scritta io (complemento - chiusura - complemento - chiusura - ...) è 7, non 14. (Il che, però, fa pensare che forse ci stiamo avvicinando). Infatti, se $A\subX$ abbiamo:
$A, A^C, bar(A^C)$ (chiamo $F$ questo insieme) $, F^C, barF^C=(F^circ)^C, F^circ, bar(F^circ)$. Complementando ancora, otterremmo $bar(F^circ)^C=((F^circ)^circ)^C=(F^circ)^C$ che avevamo già beccato al 5° passo.
Adesso si tratta di applicare la tua osservazione. E' chiaro che non ha senso applicare due volte consecutive la stessa operazione, quindi le altre 7 possibilità le dovremmo trovare iniziando con la chiusura e poi applicando alternativamente complementazione - chiusura - complementazione - ... Che dici, ci stiamo arrivando?
ho faticato a seguire le tue notazioni, però non ho buone notizie:
ho l'impressione che il quinto insieme sia $barA$ e il settimo coincida con il terzo. però mi psso sbagliare, perché ho veramente faticato ad interpretare le nuove notazioni.
se fosse vero, non solo sarebbero 6 e non 7 questi elementi, ma non avremmo nulla di nuovo con l'altra sequenza.
che ne dici?
ho l'impressione che il quinto insieme sia $barA$ e il settimo coincida con il terzo. però mi psso sbagliare, perché ho veramente faticato ad interpretare le nuove notazioni.
se fosse vero, non solo sarebbero 6 e non 7 questi elementi, ma non avremmo nulla di nuovo con l'altra sequenza.
che ne dici?
Maybe these could be of some help:
http://katlas.math.toronto.edu/0506-Top ... _Operators
http://www.latrobe.edu.au/mathstats/mat ... towski.pdf
http://katlas.math.toronto.edu/0506-Top ... _Operators
http://www.latrobe.edu.au/mathstats/mat ... towski.pdf
grazie per i link:
significa che gli operatori sono tre e non due, oltre che possono essere presi in ordine arbitrario ...
che dire del testo originale dell'esercizio?
che la prima parte è banale e la seconda impossibile?
ciao.
significa che gli operatori sono tre e non due, oltre che possono essere presi in ordine arbitrario ...
che dire del testo originale dell'esercizio?
che la prima parte è banale e la seconda impossibile?
ciao.
"adaBTTLS":
gli operatori sono tre e non due
Questo è quello che dice il primo dei link, quello più sintetico. Invece sul secondo, mi pare di capire, si parla (dopo aver definito $a(A):=X-A, b(A):=barA$) del fatto che con queste due lettere si possono formare al più 14 parole, ovvero che il monoide generato da $a, b$ è formato da 14 elementi. Che è come dire: si possono combinare queste due operazioni al più in 14 modi distinti.
La cosa simpatica è che stavamo arrivando alla soluzione (ma il linguaggio $X-A, barA$ è troppo macchinoso, faceva perdere subito il filo): infatti metà delle parole sono della forma $abab...$ e l'altra metà della forma $baba...$ (*), ovvero metà delle parole derivavano dall'aver iniziato la sequenza con $a$ (complementazione), l'altra dall'aver iniziato con $b$ (chiusura).
[edit] (*) contando nella prima metà anche la parola $aa=id$.
sì, ho visto più dettagliatamente il secondo.
curioso che avevo pensato che l'esempio dovesse essere qualcosa del genere, ma nella sequenza, avendo in mente tutt'altro, ero convinta che gli insiemi distinti "dovessero", non "potessero" essere di meno. devo comunque ancora riflettere. se ci saranno delle novità, le conumicherò anche più in là.
ciao.
curioso che avevo pensato che l'esempio dovesse essere qualcosa del genere, ma nella sequenza, avendo in mente tutt'altro, ero convinta che gli insiemi distinti "dovessero", non "potessero" essere di meno. devo comunque ancora riflettere. se ci saranno delle novità, le conumicherò anche più in là.
ciao.
Riguardo il numero degli operatori: leggendo il secondo dei link vedo che in effetti definire un operatore per l'interno è ridondante, in quanto l'interno di un insieme è il complementare della chiusura del complementare (ovvero l'operatore $aba$). E infatti anche nel testo dell'esercizio non si parlava di interno.
La dimostrazione del teorema che viene data sull'articolo mi pare parecchio raffinata però. Si basa sull'introduzione di una relazione d'ordine tra le parole formate dalle lettere $a, b$, in pratica una parola $P$ è $<=$ di una parola $Q$ se $P(A)\subQ(A)$. Con questo strumento si arriva a dimostrare che la parola $bababab$ (chiusura-complemento-chiusura-complemento...chiusura) è identica a $bab$ e questo, unito al fatto che $bb=b, aa=id$ porta a dire che in tutto le parole sono 14 (come dicevamo prima, 7 sono $a, ab, aba, abab, ababa, ababab, abababa$, altre 6 sono $b, ba, bab, baba, babab, bababa$, e poi c'è $id$). E come si fa?
Innanzitutto osserviamo che $aba(bab)<=bab$, perché $aba$ è l'operatore di interno, e $aba<=id$ (l'interno di un insieme è più piccolo dell'insieme stesso). Quindi $b(aba)bab<=b bab=bab$. Ma si può dimostrare anche la disuguaglianza inversa. Infatti l'operatore $a$ (complementazione) scambia le disuguaglianze (è come moltiplicare per un numero negativo). Dalla disuguaglianza $(aba)b<=b$, moltiplicando per $b$ (che invece conserva le disuguaglianze, essendo la chiusura un operatore crescente) otteniamo $babab<=b b=b$, poi moltiplicando per $a$ $ababab>=ab$ e infine moltiplicando per $b$ $bababab>=bab$. Quindi $bababab=bab$.
Bellissimo.
La dimostrazione del teorema che viene data sull'articolo mi pare parecchio raffinata però. Si basa sull'introduzione di una relazione d'ordine tra le parole formate dalle lettere $a, b$, in pratica una parola $P$ è $<=$ di una parola $Q$ se $P(A)\subQ(A)$. Con questo strumento si arriva a dimostrare che la parola $bababab$ (chiusura-complemento-chiusura-complemento...chiusura) è identica a $bab$ e questo, unito al fatto che $bb=b, aa=id$ porta a dire che in tutto le parole sono 14 (come dicevamo prima, 7 sono $a, ab, aba, abab, ababa, ababab, abababa$, altre 6 sono $b, ba, bab, baba, babab, bababa$, e poi c'è $id$). E come si fa?
Innanzitutto osserviamo che $aba(bab)<=bab$, perché $aba$ è l'operatore di interno, e $aba<=id$ (l'interno di un insieme è più piccolo dell'insieme stesso). Quindi $b(aba)bab<=b bab=bab$. Ma si può dimostrare anche la disuguaglianza inversa. Infatti l'operatore $a$ (complementazione) scambia le disuguaglianze (è come moltiplicare per un numero negativo). Dalla disuguaglianza $(aba)b<=b$, moltiplicando per $b$ (che invece conserva le disuguaglianze, essendo la chiusura un operatore crescente) otteniamo $babab<=b b=b$, poi moltiplicando per $a$ $ababab>=ab$ e infine moltiplicando per $b$ $bababab>=bab$. Quindi $bababab=bab$.
Bellissimo.
non ho ripreso l'articolo, ma $aba(bab)<=bab$ perché $aba$ è l'operatore interno può andar bene se $aba$ opera "dopo" $bab$, non se l'interno "opera prima" di altri operatori: già la chiusura dell'interno riporta in "parità", il complementare dell'interno di un insieme A è "più grande" del complementare di A.
mi pareva di aver capito che non si leggono quelle sequenze come funzioni composte dall'interno all'esterno, cioè da destra verso sinistra, ma nell'ordine da sinistra verso destra... come tanti altri operatori a me molto "familiari" (perché presenti nella mia tesi di laurea, anche se non riguardano la topologia, almeno non direttamente).
d'altronde, anche tu hai parlato delle proprietà specifiche dei due operatori base ... per cui la disuguaglianza sarà senz'altro vera, ma per motivi meno evidenti.
ciao.
mi pareva di aver capito che non si leggono quelle sequenze come funzioni composte dall'interno all'esterno, cioè da destra verso sinistra, ma nell'ordine da sinistra verso destra... come tanti altri operatori a me molto "familiari" (perché presenti nella mia tesi di laurea, anche se non riguardano la topologia, almeno non direttamente).
d'altronde, anche tu hai parlato delle proprietà specifiche dei due operatori base ... per cui la disuguaglianza sarà senz'altro vera, ma per motivi meno evidenti.
ciao.
io veramente avevo pensato di fare agire gli operatori cominciando da destra, come si fa con la composizione di funzioni (anche se qualche post fa avevo erroneamente lasciato intendere il contrario)... E così $(aba)(bab)$ è l'operatore ottenuto facendo agire prima $bab$ e poi prendendo l'interno, che "rimpicciolisce" $bab$. Però adesso non so se questo mi crea problemi. Di solito si fa al contrario? (Non conosco niente di questo argomento 
)
P.S.: Di cosa parlava la tua tesi di laurea? Adesso sono proprio curioso!
) P.S.: Di cosa parlava la tua tesi di laurea? Adesso sono proprio curioso!
ne ho parlato in più occasioni: vai alla sezione "congetture e ricerca libera" e cerca forse l'unico topic mio "logica temporale", se ti interessa... ciao.
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