Misure vettoriali e funzioni BV su varieta Riemanniane
Sto' cercando dei riferimenti su misure di Radon vettoriali e funzioni $BV$ e, in particolare $SBV_{loc}$ definite su aperti regolari in varieta' pseudo-Riemanniane $C^\infty$.
Immagino che, almeno nel caso di funzioni, modulo un po' di "smanettamenti" con le carte locali, si possa estendere pari pari la teoria dal caso di $RR^N$. Non ho idea di come funzioni la cosa nel caso di campi tensoriali. In particolare esiste una teoria su campi tensoriali la cui divergenza covariante (ad esempio usando la connessione di Levi-Civita) e' una misura a valori tensoriali?
Per capirci quello che mi servirebbe e' capire le proprieta' di campi tensoriali $T^{ab}$ tali per cui la loro derivata covariante $\nabla_b T^{ab}$ e' una misura, nel senso che:
$ \int_\Omega \nabla_b T^{ab} \phi_a \epsilon = - \int_\Omega T^{ab} \nabla_b \phi_a \epsilon $,
per ogni $\Omega$ regolare e per ogni uno-forma $\phi_a \in C_0^1(\Omega)$. Qui ho indicato con $\epsilon$ la forma di volume sulla varieta'.
Immagino che, almeno nel caso di funzioni, modulo un po' di "smanettamenti" con le carte locali, si possa estendere pari pari la teoria dal caso di $RR^N$. Non ho idea di come funzioni la cosa nel caso di campi tensoriali. In particolare esiste una teoria su campi tensoriali la cui divergenza covariante (ad esempio usando la connessione di Levi-Civita) e' una misura a valori tensoriali?
Per capirci quello che mi servirebbe e' capire le proprieta' di campi tensoriali $T^{ab}$ tali per cui la loro derivata covariante $\nabla_b T^{ab}$ e' una misura, nel senso che:
$ \int_\Omega \nabla_b T^{ab} \phi_a \epsilon = - \int_\Omega T^{ab} \nabla_b \phi_a \epsilon $,
per ogni $\Omega$ regolare e per ogni uno-forma $\phi_a \in C_0^1(\Omega)$. Qui ho indicato con $\epsilon$ la forma di volume sulla varieta'.
Risposte
Per le funzioni BV puoi vedere Ambrosio-Fusco-Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press; però non so se ci sono le estensioni alle varietà Riemanniane...
Grazie per la risposta. Purtroppo mi occorrerà un po' di tempo per rimettere le mani sull'Ambrosio-Fusco-Pallara (su cui avevo studiato le funzioni $BV$ un paio di anni fa), dato che è in prestito. Tuttavia, se mi ricordo bene, non c'era nulla su varietà pseudo-Riemanniane...
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