Misura del cerchio

[hybridslinky]

Diversi libri di geometria che ho consultato (compresa l'opera di Archimede) per definire la misura del cerchio devono ricorrere al seguente assioma: date due curve che abbiano gli stessi estremi e che siano entrambe interamente concave dalla stessa parte, se una curva contiene interamente l'altra, allora la curva contenuta è di lunghezza inferiore a quella che la contiene.

Mi chiedo se questo assioma sia deducibile da quelli di Euclide (credo di no) o se sia deducibile dagli assiomi di Hilbert.

In pratica mi chiedo se sia necessario aggiungere questio assioma agli assiomi di Hilbert per introdurre la misura del cerchio in geometria euclidea, oppure se sia deducibile dagli altri assiomi.

[adaBTTLS1]

non l'avevo sentito. naturalmente ti riferisci alla circonferenza, se parli di lunghezza, non al cerchio...
da quello che ricordo io effettivamente in Euclide si parla di "lunghezza rettificata", quindi è abbastanza esplicito il confronto con un segmento...
sono curiosa di vedere altri interventi ciao.

[gugo82]

"hybridslinky":date due curve che abbiano gli stessi estremi e che siano entrambe interamente concave dalla stessa parte, se una curva contiene interamente l'altra, allora la curva contenuta è di lunghezza inferiore a quella che la contiene.

Non vorrei guastare le uova nel paniere, però mi pare che due curve hanno gli stessi estremi e tali che l'una contenuta nell'altra risultano coincidenti...
Se è così, la proposizione che hai citato non significa nulla.

[hybridslinky]

No, non hai capito bene.

Comunque per chiarezza riporto in maniera completa le parole di Archimede:

1: Di tutte le linee che hanno gli stessi estremi quella diritta è la più breve.
2: Di tutte le linee di un piano che hanno gli stessi estremi, due qualsiasi linee diverse che siano interamente concave dalla stessa parte ed una delle due sia interamente contenuta tra l'altra linea e la linea diritta che ha gli stessi estremi con essa, la linea contenuta è la più corta.

Esempio per chiarirci: dato un arco di circonferenza e la rispettiva corda, qualunque linea che ha gli stessi estremi dell'arco, che sia interamente concava dalla stessa parte e che sia completamente contenuta nell'area delimitata dall'arco e dalla sua corda, è più corta dell'arco stesso.[/img]