Minori di una matrice per calcolo rango
Buonasera Forum
per questro quesito non so se riusciro' a spiegarmi bene.
Allora ...dovendo risolvere un sistema lineare, vado a calcolaere il rango della matrice dei coefficienti A:
e di quella completa B :
In questo caso la A ha rango 2 e quindi controllo il rango della matrice B perche' se fosse 3 il sistema e' incompatibile. Per fare cio' uso il teorema degli orlati e partendo dal minore diverso da 0
aggiungo una volta la terza colonna e la terza riga e poi sempre dalla prima aggiungo la quarta colonna e sempre la terza riga ,ottenendo in entrambi i casi determinante nullo che mi porta alla conclusione che il rango della B, la completa e' anch'esso 2.
Ma mi chiedo: usando gli orlati nel modo visto (che e' quello che ho capito dal testo su cui studio) non si trascura l'ultimo minore di ordine 3
quello che cioe' parte dal minore di 2°ordine successivamente orlato?
E' vero che anche in questo caso il determinante e' nullo . Ma se non lo fosse stato? il rango della completa sarebbe stato 3 , rendendo incompatibile il sistema?
Devo controllare anche questo ulteriore minore?
Spero che , con tutte queste chiacchiere ahime', sia riuscita a trasmettervi il mio dubbio.
Anna
per questro quesito non so se riusciro' a spiegarmi bene.
Allora ...dovendo risolvere un sistema lineare, vado a calcolaere il rango della matrice dei coefficienti A:
e di quella completa B :
In questo caso la A ha rango 2 e quindi controllo il rango della matrice B perche' se fosse 3 il sistema e' incompatibile. Per fare cio' uso il teorema degli orlati e partendo dal minore diverso da 0
aggiungo una volta la terza colonna e la terza riga e poi sempre dalla prima aggiungo la quarta colonna e sempre la terza riga ,ottenendo in entrambi i casi determinante nullo che mi porta alla conclusione che il rango della B, la completa e' anch'esso 2.
Ma mi chiedo: usando gli orlati nel modo visto (che e' quello che ho capito dal testo su cui studio) non si trascura l'ultimo minore di ordine 3
quello che cioe' parte dal minore di 2°ordine successivamente orlato?
E' vero che anche in questo caso il determinante e' nullo . Ma se non lo fosse stato? il rango della completa sarebbe stato 3 , rendendo incompatibile il sistema?
Devo controllare anche questo ulteriore minore?
Spero che , con tutte queste chiacchiere ahime', sia riuscita a trasmettervi il mio dubbio.
Anna
Risposte
No, non devi controllare tutti quanti i minori di ordine 3.
Dovresti conoscere il Teorema di Kronecker,
che afferma che basta che controlli solo gli orlati del tuo minore di ordine 2 (che aveva determinante non nullo),
e se hanno tutti determinante nullo, allora il rango è 2
Dovresti conoscere il Teorema di Kronecker,
che afferma che basta che controlli solo gli orlati del tuo minore di ordine 2 (che aveva determinante non nullo),
e se hanno tutti determinante nullo, allora il rango è 2
Ciao Anna!
Stà tranquilla:
la forza della regola di Kronecker è che t'assicura come pure i "non orlati" avranno determinante nullo,
se lo hanno tutti gli orlati d'una sottomatrice non singolare della data..
Il vantaggio di ciò è che,se li trovi tutti nulli(ma in caso contrario non è una brutta notizia..),
ti risparmi un bel pò di conti rispetto alla determinazione del rango a partire dalla definizione;
più avanti vedrai che,sebbene sia vantaggioso e "sicuro" proceder con quella regola,
lo sarà ancor più osservare che nel tuo caso,in entrambe le matrici,
la terza riga è data dalla differenza tra la prima ed il triplo della seconda:
se lo osservi subito è un bene,e val la pena perderci un attimo per provare se riesci a "vedere" situazioni del genere,
perchè ciò significa che il rango d'entrambe resterà inalterato se ne cancellerai le rispettive terze righe..
Saluti dal web.
Stà tranquilla:
la forza della regola di Kronecker è che t'assicura come pure i "non orlati" avranno determinante nullo,
se lo hanno tutti gli orlati d'una sottomatrice non singolare della data..
Il vantaggio di ciò è che,se li trovi tutti nulli(ma in caso contrario non è una brutta notizia..),
ti risparmi un bel pò di conti rispetto alla determinazione del rango a partire dalla definizione;
più avanti vedrai che,sebbene sia vantaggioso e "sicuro" proceder con quella regola,
lo sarà ancor più osservare che nel tuo caso,in entrambe le matrici,
la terza riga è data dalla differenza tra la prima ed il triplo della seconda:
se lo osservi subito è un bene,e val la pena perderci un attimo per provare se riesci a "vedere" situazioni del genere,
perchè ciò significa che il rango d'entrambe resterà inalterato se ne cancellerai le rispettive terze righe..
Saluti dal web.
Perfetto, chiarissimi come sempre, ho sbagliato ad interpretare il teorema degli orlati...non avevo capito che sono sufficienti gli orlati.
Ora sto ripetendo inverse generalizzate, autovalori e autovettori...spero che mi aiuterete a chiarire gli altri dubbi ...
l'esame si avvicina.
Ciao
Anna
Ora sto ripetendo inverse generalizzate, autovalori e autovettori...spero che mi aiuterete a chiarire gli altri dubbi ...
l'esame si avvicina.
Ciao
Anna
Ciao Anna,
hai gia' avuto due ottime risposte, provo a dartene una terza per confermarti ulteriormente che hai risolto correttamente il problema. Assumo che tu sappia cosa significa essere "linearmente dipendenti" e cosa sia la "dipenza lineare" $L\{...\}$(o sottospazio generato $<...>$) di un insieme di vettori. Nel tuo caso i vettori sono le colonne $C_1,C_2, C_3,C_4\in\mathbb R^3$ della matrice completa. L'annullarsi dei primi due orlati ($\det(C_1|C_2|C_3)=0$ e $\det(C_1|C_2|C_4)=0$) ti dice che $C_1,C_2, C_3$ sono linearmente dipendenti e che anche $C_1,C_2, C_4$ lo sono; d'altra parte sai che $C_1,C_2$ sono linearmente indipendenti (in forza della non nullita' del primo minore due per due).
Pertanto puoi concludere: $C_3,C_4\in L\{C_1,C_2\}$ (ovvero: sia $C_3$ che $C_4$ sono combinazione lineare di $C_1$ e $C_2$). Ma allora $L\{C_2,C_3,C_4\}\subseteq L\{C_1,C_2\}$ (*) da cui $\dim_{\mathbb R} L\{C_2,C_3,C_4\}\leq \dim_{\mathbb RR} L\{C_1,C_2\}=2$, e quindi non puo' essere $\det(C_2|C_3|C_4)\ne 0$. Se non hai ancora incontrato il concetto di dimensione ($\dim_{\mathbb RR}$) puoi comunque convincerti che $C_2, C_3, C_4$ sono linearmente dipendenti
partendo dalle relazioni $C_3=rC_1+sC_2$, $C_4=tC_1+uC_2$ (valide per opportuni $r,s,t,u\in \mathbb R$) per "costruire"
una relazione di dipendenza lineare non banale $xC_2+yC_3+zC_4=0$ (colonna nulla). Spero che questo contribuisca a chiarirti la situazione in questo esempio specifico. In generale, la dimostrazione del Teorema di Kronecker (talvolta anche detto "degli orlati") ti fa vedere come l'annullarsi di alcuni specifici minori (contenenti un sottominore dato) implichi come "extra-bonus" l'annullarsi anche di altri minori, apparentemente scorrelati con quelli che hai gia' preso in considerazione...comodo, no?
hai gia' avuto due ottime risposte, provo a dartene una terza per confermarti ulteriormente che hai risolto correttamente il problema. Assumo che tu sappia cosa significa essere "linearmente dipendenti" e cosa sia la "dipenza lineare" $L\{...\}$(o sottospazio generato $<...>$) di un insieme di vettori. Nel tuo caso i vettori sono le colonne $C_1,C_2, C_3,C_4\in\mathbb R^3$ della matrice completa. L'annullarsi dei primi due orlati ($\det(C_1|C_2|C_3)=0$ e $\det(C_1|C_2|C_4)=0$) ti dice che $C_1,C_2, C_3$ sono linearmente dipendenti e che anche $C_1,C_2, C_4$ lo sono; d'altra parte sai che $C_1,C_2$ sono linearmente indipendenti (in forza della non nullita' del primo minore due per due).
Pertanto puoi concludere: $C_3,C_4\in L\{C_1,C_2\}$ (ovvero: sia $C_3$ che $C_4$ sono combinazione lineare di $C_1$ e $C_2$). Ma allora $L\{C_2,C_3,C_4\}\subseteq L\{C_1,C_2\}$ (*) da cui $\dim_{\mathbb R} L\{C_2,C_3,C_4\}\leq \dim_{\mathbb RR} L\{C_1,C_2\}=2$, e quindi non puo' essere $\det(C_2|C_3|C_4)\ne 0$. Se non hai ancora incontrato il concetto di dimensione ($\dim_{\mathbb RR}$) puoi comunque convincerti che $C_2, C_3, C_4$ sono linearmente dipendenti
partendo dalle relazioni $C_3=rC_1+sC_2$, $C_4=tC_1+uC_2$ (valide per opportuni $r,s,t,u\in \mathbb R$) per "costruire"
una relazione di dipendenza lineare non banale $xC_2+yC_3+zC_4=0$ (colonna nulla). Spero che questo contribuisca a chiarirti la situazione in questo esempio specifico. In generale, la dimostrazione del Teorema di Kronecker (talvolta anche detto "degli orlati") ti fa vedere come l'annullarsi di alcuni specifici minori (contenenti un sottominore dato) implichi come "extra-bonus" l'annullarsi anche di altri minori, apparentemente scorrelati con quelli che hai gia' preso in considerazione...comodo, no?
"alessio76":
Ciao Anna,
hai gia' avuto due ottime risposte, provo a dartene una terza per confermarti ulteriormente che hai risolto correttamente il problema. Assumo che tu sappia cosa significa essere "linearmente dipendenti" e cosa sia la "dipenza lineare" $L\{...\}$(o sottospazio generato $<...>$) di un insieme di vettori. Nel tuo caso i vettori sono le colonne $C_1,C_2, C_3,C_4\in\mathbb R^3$ della matrice completa. L'annullarsi dei primi due orlati ($\det(C_1|C_2|C_3)=0$ e $\det(C_1|C_2|C_4)=0$) ti dice che $C_1,C_2, C_3$ sono linearmente dipendenti e che anche $C_1,C_2, C_4$ lo sono; d'altra parte sai che $C_1,C_2$ sono linearmente indipendenti (in forza della non nullita' del primo minore due per due).
Pertanto puoi concludere: $C_3,C_4\in L\{C_1,C_2\}$ (ovvero: sia $C_3$ che $C_4$ sono combinazione lineare di $C_1$ e $C_2$). Ma allora $L\{C_2,C_3,C_4\}\subseteq L\{C_1,C_2\}$ (*) da cui $\dim_{\mathbb R} L\{C_2,C_3,C_4\}\leq \dim_{\mathbb RR} L\{C_1,C_2\}=2$, e quindi non puo' essere $\det(C_2|C_3|C_4)\ne 0$. Se non hai ancora incontrato il concetto di dimensione ($\dim_{\mathbb RR}$) puoi comunque convincerti che $C_2, C_3, C_4$ sono linearmente dipendenti
partendo dalle relazioni $C_3=rC_1+sC_2$, $C_4=tC_1+uC_2$ (valide per opportuni $r,s,t,u\in \mathbb R$) per "costruire"
una relazione di dipendenza lineare non banale $xC_2+yC_3+zC_4=0$ (colonna nulla). Spero che questo contribuisca a chiarirti la situazione in questo esempio specifico. In generale, la dimostrazione del Teorema di Kronecker (talvolta anche detto "degli orlati") ti fa vedere come l'annullarsi di alcuni specifici minori (contenenti un sottominore dato) implichi come "extra-bonus" l'annullarsi anche di altri minori, apparentemente scorrelati con quelli che hai gia' preso in considerazione...comodo, no?
Ciao,e benvenuto!
Certo che sono buone risposte:
il mio abolizionista preferito ed io ci mettiam sempre d'accordo prima,
e poi le spediamo quasi in contemporanea
!Per quanto riguarda la bontà del tuo discorso,invece,
non son sicurissimo che il formalismo che hai ben usato le sia familiare né congeniale:
forse in un corso di metodi matematici per l'economia non vanno troppo per il sottile,
in argomenti destinati ad un futuro possibile aiuto computazionale..
Vediamo se la buona Anna,che siam destinati a salutare a breve,ci darà conferme in merito:
saluti dal web.
Ok, a parte il concetto di dim...ho capito il concetto di dipendenza lineare e quindi la dipendenza lineare delle colonne c2 c3 c4..
Grazie ancora.
Grazie ancora.
"theras":
Ciao,e benvenuto!
Grazie
"theras":
non son sicurissimo che il formalismo che hai ben usato le sia familiare né congeniale:
L'ho pensato anch'io, ma ... tentar non nuoce
...Saluti
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