Minori di una matrice.. ?..help me..

[21zuclo]

Ciao a tutti..sto imparando le matrici, ma non capisco cosa siano i minori di una matrice e poi quando dicono che è di ordine 2. Aiutatemi per favore..

Allora ho capito che se ho una matrice $A\in \mathbb{K^(m\times n)}$
posso estrarre una sottomatrice scegliendo p righe e q colonne di A ($0
poi l'ordine di un minore estratto da una matrice di tipo $(m,n)$ non può superare il più piccolo dei 2 numeri $m,n$.

Ora però mi perdo con questo esempio che fa il libro.

$ A=( ( 1 , 0 , 5 , -3 , 1 ),( -2 , 1 , -5 , 7 , 0 ),( 0 , 1 , 5 , 1 , 2 ) ) $

I seguenti sono minori d'ordine 1: $|1|=1, |0|=0, |-2|=-2,....$

scegliendo gli elementi della prima e seconda riga e della seconda e quarta colonna, si ha
il seguente minore di ordine 2: $ | ( 0 , -3 ),( 1 , 7 ) |=3 $

infine un minore di ordine 3 è ad esempio $ | ( 0 , -3,1 ),( 1 , 7,0 ),(1,1,2) |=0 $
La matrice A non ha minori di ordine superiore a 3


Ecco ho dei dubbi, cosa significa "ordine 2" e "ordine 3" ?.. e poi mi sono un po' perso, in questa matrice qual è il minore?..e il massimo ordine dei minori non nulli? (quest'ultimo mi serivrà per il rango)

[Pappappero1]

Non c'è uniformità nella notazione e nelle definizioni. Nei testi su cui ho studiato io, la parola minore si riferisce al determinante di una sottomatrice. In particolare, quando si parla di minori, si vuole che le sottomatrici siano quadrate (non ha senso parlare di determinante di una matrice non quadrata) e dire un minore di ordine $k$ significa il determinante di una sottomatrice $k \times k$. Però attenzione: talvolta con la parola minore si può indicare la sottomatrice stessa (invece che il suo determinante).

In particolare, i minori di ordine $1$ sono i determinanti delle sottomatrici $1 \times 1$, cioè le entrate della matrice, che coincidono con il loro determinante.

I minori di ordine $2$ sono i determinanti delle matrici $2 \times 2$: nel tuo caso in effetti, il determinante di quella sottomatrice è proprio $3$.

In modo analogo per il minore $3 \times 3$.

Visto che la tua matrice ha solo $3$ righe, non ci sono sottomatrici $4 \times 4$ e dunque non ci sono minori di ordine $4$.

Il massimo ordine di un minore non nullo è il massimo $k$ tale che la tua matrice ha una sottomatrice $k\times k$ con determinante diverso da $0$. Studierai (se non l'hai già studiato) che questo $k$ coincide proprio con la definizione (più intuitiva se vogliamo) di rango della matrice.

[21zuclo]

Ok più o meno ci sono.

Riguardo al rango e ai minori non nulli

"Pappappero":
Il massimo ordine di un minore non nullo è il massimo $k$ tale che la tua matrice ha una sottomatrice $k\times k$ con determinante diverso da $0$. Studierai (se non l'hai già studiato) che questo $k$ coincide proprio con la definizione (più intuitiva se vogliamo) di rango della matrice.

l'esempio che mi fa il libro è $ A=( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( -1 , -2 , -3 , -4 ),( 2 , 4 , 6 , 8 ) ) $

e dice che essa ha rango $\rho(A)=1$, perchè ha minori non nulli di ordine 1. E la prima e la seconda riga, come la seconda e la terza sono proporzionali e quindi qualunque minore di ordine 2 o 3 di A, risulta nullo.

Allora io dico, che OK che risulta nullo perchè è nelle proprietà del determinante.
Quindi per determinare il rango di una matrice devo cercare i minori di ordini $k$, che hanno determinante non nullo? Esatto?

Tu prima mi hai detto che quando si parla di minori, si vuole che le sottomatrici siano quadrate
ma se ho una matrice come in quest'ultimo esempio che è $(3,4)$, faccio la sua sottomatrice che chiamo $B_(r\times s)$, rimuovendo $3-r$ righe e $4-s$ colonne?
per esempio faccio io $B_(2\times 2)=((-1,-2),(2,4))$, che ovviamente $det(B)=0$

che mi sembra che è il complemento algebrico (se non erro)

[Gio910]

"21zuclo":
Allora io dico, che OK che risulta nullo perchè è nelle proprietà del determinante.
Quindi per determinare il rango di una matrice devo cercare i minori di ordini $k$, che hanno determinante non nullo? Esatto?

esatto

"21zuclo":Tu prima mi hai detto che quando si parla di minori, si vuole che le sottomatrici siano quadrate
ma se ho una matrice come in quest'ultimo esempio che è $(3,4)$, faccio la sua sottomatrice che chiamo $B_(r\times s)$, rimuovendo $3-r$ righe e $4-s$ colonne?
per esempio faccio io $B_(2\times 2)=((-1,-2),(2,4))$, che ovviamente $det(B)=0$

che mi sembra che è il complemento algebrico (se non erro)

se hai una matrice 3X4 devi trovare una sottomatrice 3X3 con determinante non nullo.Se non la trovi passi a quelle 2X2 e così via...