Minori di matrici
ho la seguente matrice $((0,3,5,4),(1,2,3,2),(1,1,0,1))$, per determinare il rango ho bisogno di un minore quadrato che abbia determinante diverso da zero. senza tenere conto dei valori della matrice che ho scritto, posso per esempio scegliere il minore $((0,5,4),(1,3,2),(1,0,1))$ o i valori devono essere tutti adiacenti tra loro???
Risposte
Si, puoi scegliere un minore siffatto.
ok grazie..non esiste regola quindi per scegliere i minori se non che almeno le righe del minore sia parte di una riga della matrice e idem per le colonne..giusto??
Esatto.. Ma non è necessario che i valori scelti siano adiacenti, come scritto sopra.
Paola
Paola
quindi potrei scegliere anche il seguente minore di ordine 2 $((0,4),(3,1))$ con numeri presi a caso dalla matrice??
No, forse ho detto male...
Lo 0 e il 4 van bene perchè appartengono alla stessa riga (anche se non adiacenti)e sono sistemati nello stesso ordine (cioè anche nella matrice lo 0 è prima del 4), mentre il 3 e l'1 non van bene, perchè appartengono sì alla stessa riga ma l'1 verrebbe prima del 3 nella matrice .
A parte questa precisazione, andrebbe bene.
Lo 0 e il 4 van bene perchè appartengono alla stessa riga (anche se non adiacenti)e sono sistemati nello stesso ordine (cioè anche nella matrice lo 0 è prima del 4), mentre il 3 e l'1 non van bene, perchè appartengono sì alla stessa riga ma l'1 verrebbe prima del 3 nella matrice .
A parte questa precisazione, andrebbe bene.
Salve scusate sento il bisogno di fare un po' di chiarezza.
Data una matrice $n times m$, chiamiamola $A$, una "sottomatrice" di $A$ è una matrice ottenuta da $A$ togliendo alcune righe e/o colonne (il significato di "togliere righe e/o colonne" dovrebbe essere chiaro).
Ora le sottomatrici sono utili a calcolare il rango di $A$ perché se $A$ ammette una sottomatrice di rango $r$ allora il rango di $A$ è $geq r$.
E va sempre ricordato che siccome $A$ è $n times m$, il rango di $A$ è $le n$ e $le m$.
Il motivo per cui si cercano sottomatrici quadrate invertibili è che se se ne trova una siffatta, il suo ordine corrisponde al suo rango (quindi è "visivo"). Questo è comodo perché verificare che una matrice quadrata è invertibile non comporta calcoli acrobatici: si riduce al meccanico calcolo del determinante.
In particolare per esempio data $A=((0,2,0),(0,9,0),(0,1,0))$ la matrice $B=((2,0),(0,9))$ non è una sua sottomatrice. Infatti B non è ottenuta da A togliendo qualche riga e/o colonna (a riprova di questo, il rango di A è 1 e quello di B è 2).
Per alcuni, un minore di una matrice A è una sua sottomatrice quadrata.
Per altri, un minore di una matrice A è il determinante di una sua sottomatrice quadrata.
Data una matrice $n times m$, chiamiamola $A$, una "sottomatrice" di $A$ è una matrice ottenuta da $A$ togliendo alcune righe e/o colonne (il significato di "togliere righe e/o colonne" dovrebbe essere chiaro).
Ora le sottomatrici sono utili a calcolare il rango di $A$ perché se $A$ ammette una sottomatrice di rango $r$ allora il rango di $A$ è $geq r$.
E va sempre ricordato che siccome $A$ è $n times m$, il rango di $A$ è $le n$ e $le m$.
Il motivo per cui si cercano sottomatrici quadrate invertibili è che se se ne trova una siffatta, il suo ordine corrisponde al suo rango (quindi è "visivo"). Questo è comodo perché verificare che una matrice quadrata è invertibile non comporta calcoli acrobatici: si riduce al meccanico calcolo del determinante.
In particolare per esempio data $A=((0,2,0),(0,9,0),(0,1,0))$ la matrice $B=((2,0),(0,9))$ non è una sua sottomatrice. Infatti B non è ottenuta da A togliendo qualche riga e/o colonna (a riprova di questo, il rango di A è 1 e quello di B è 2).
Per alcuni, un minore di una matrice A è una sua sottomatrice quadrata.
Per altri, un minore di una matrice A è il determinante di una sua sottomatrice quadrata.
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