Minima distanza tra sottovarietà lineari
Ciao. Mi sono bloccato da un bel po' su questa dimostrazione. (Chiedo scusa per le immagini, ma mi seccava troppo riscrivere il tutto).
Nello spazio (affine) euclideo \( \mathbb{E}\left(\mathbb{R}^3\right) \) vale la seguente.
Perché \( 0 \) è l'unico vettore che soddisfa a ciò?
Inoltre, andando avanti
Da dove arrivano \( u \), \( v \) e \( n \)?
Nello spazio (affine) euclideo \( \mathbb{E}\left(\mathbb{R}^3\right) \) vale la seguente.
Perché \( 0 \) è l'unico vettore che soddisfa a ciò?
Inoltre, andando avanti
Da dove arrivano \( u \), \( v \) e \( n \)?
Risposte
Sia \(O \in \mathbb{L}\cap\mathbb{M}\), allora esistono \(\mathbf{u}\in U\) e \(\mathbf{w}\in W\) tali che \(P + \mathbf{u} = O\) e \(Q + \mathbf{w} = O\). In altre parole, dal punto di vista del punto \(O\), le sottovarietà lineari \(\mathbb{M}\) e \(\mathbb{L}\) sono indistinguibili dai sottospazi vettoriali \(U\) e \(W\). Pertanto si può supporre di lavorare direttamente in uno spazio vettoriale. Considera due vettori \(\mathbf{u}\in U\), \(\mathbf{w}\in W\) e la loro differenza. Allora si ha \(\langle \mathbf{u} - \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle - \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle\). Siccome il prodotto vettoriale è non degenere si ha \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle > 0\). Se \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle \neq \langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle\) si ha finito, altrimenti basta sostituire \(\mathbf{w}\) con un suo multiplo.
Riguardo al secondo punto mi sembra stia usando un ragionamento circolare, nel senso che la tesi è che \(\mathbf{n}\) sia ortogonale ad entrambi.
Comunque, per la prossima volta, quando ti scusi per aver inserito immagini, non dire che ti "seccava" fare qualcosa che stai esplicitamente chiedendo a qualcun'altro di fare. Insomma, non rende chi ti legge molto propenso a risponderti.
Riguardo al secondo punto mi sembra stia usando un ragionamento circolare, nel senso che la tesi è che \(\mathbf{n}\) sia ortogonale ad entrambi.
Comunque, per la prossima volta, quando ti scusi per aver inserito immagini, non dire che ti "seccava" fare qualcosa che stai esplicitamente chiedendo a qualcun'altro di fare. Insomma, non rende chi ti legge molto propenso a risponderti.
Ti ringrazio per la risposta.
Da quello che ho capito, dimostri che presi due vettori rispettivamente di \( U \) e \( W \), la loro differenza non è perpendicolare ad uno di essi. Perché questo dovrebbe provare che \( 0 \) è l'unico vettore (dello spazio, cioè qui \( \mathbb{R}^3 \), e congiungente due punti di \( \mathbb{L} \) e \( M \)) perpendicolare ai due sottospazi direttori \( U \) e \( W \)?
Inoltre, che cosa intendi qui
[ot]Riguardo al "seccava": hai perfettamente ragione. Era da intendersi come "credo che la cosa sia immediatamente risolvibile a chi ne sa un briciolo in più di me; ma ora dovrei proseguire più speditamente, evitando di rimanerci sopra per troppo tempo".[/ot]
Da quello che ho capito, dimostri che presi due vettori rispettivamente di \( U \) e \( W \), la loro differenza non è perpendicolare ad uno di essi. Perché questo dovrebbe provare che \( 0 \) è l'unico vettore (dello spazio, cioè qui \( \mathbb{R}^3 \), e congiungente due punti di \( \mathbb{L} \) e \( M \)) perpendicolare ai due sottospazi direttori \( U \) e \( W \)?
Inoltre, che cosa intendi qui
"vict85":con "si può lavorare direttamente in uno spazio vettoriale"?
Sia \( O \in \mathbb{L}\cap\mathbb{M} \), allora esistono \( \mathbf{u}\in U \) e \( \mathbf{w}\in W \) tali che \( P + \mathbf{u} = O \) e \( Q + \mathbf{w} = O \). In altre parole, dal punto di vista del punto \( O \), le sottovarietà lineari \( \mathbb{M} \) e \( \mathbb{L} \) sono indistinguibili dai sottospazi vettoriali \( U \) e \( W \). Pertanto si può supporre di lavorare direttamente in uno spazio vettoriale.
[ot]Riguardo al "seccava": hai perfettamente ragione. Era da intendersi come "credo che la cosa sia immediatamente risolvibile a chi ne sa un briciolo in più di me; ma ora dovrei proseguire più speditamente, evitando di rimanerci sopra per troppo tempo".[/ot]
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