Miniblocchi di Jordan

[aduri]

Salve a tutti,
qualcuno, cortesemente, potrebbe spiegarmi come ottenere il polinomio minimo attraverso i miniblocchi di Jordan possibilmente con un esempio.

Grazie
Antonio

[pat871]

Per trovare il polinomio minimo di una matrice, conoscendo la sua forma canonica di Jordan, sai che:
-L'ordine del più grande miniblocco di Jordan è il grado del polinomio minimo.
-Il polinomio minimo deve dividere il polinomio caratteristico.
- Per il polinomio minimo deve valere: $M_A(A) = 0$, cioè la matrice stessa annulla il polinomio.

Esempio:
$A = ((3,0,2),(-2,0,1),(2,1,0))$
Il polinomio minimo è $P_A(t) = -(t-1)^3$ e quindi vale per il teorema di Cayley-Hamilton $(A-I)^3 = 0$.
La forma normale di Jordan è (calcolo...):
$A_J = ((1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))$
Adesso sai che c'è soltanto un miniblocco dell'ordine 3 (quello dell'autovalore 1, con molteplicità geometrica 1). Perciò il polinomio minimo deve essere di grado 3. E visto che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, hai che $P_A(t) = M_A(t)$. Naturalmente vale: $M_A(A) = 0$.
Quindi:
$M_A(t) = -(t-1)^3$

Se non hai capito chiedi pure...

Ciao!

[aduri]

Tutto chiaro.

Grazie