Migliore approssimazione di vettori
Ciao ragazzi, qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve questo esercizio?
" Siano $S = span ({ (0,2,-1), (0,1,3), (0,3,2) })$ e $u = (5,0,1)$. Si determini l'elemento di $S$ che meglio approssima il vettore $u$ rispetto alla distanza indotta dalla norma euclidea. "
Non riesco a capire quale sia il metodo di risoluzione.
Grazie in anticipo.
" Siano $S = span ({ (0,2,-1), (0,1,3), (0,3,2) })$ e $u = (5,0,1)$. Si determini l'elemento di $S$ che meglio approssima il vettore $u$ rispetto alla distanza indotta dalla norma euclidea. "
Non riesco a capire quale sia il metodo di risoluzione.
Grazie in anticipo.
Risposte
Potresti cominciare con il trovare un base per \(S\). In fin dei conti comunque, mi sembra evidente che l'elemento sia \((0,0,1)\) (lo dico senza fare calcoli[nota]Ogni elemento di \(S\) ha la prima coordinata zero, e \(S\) è un sottospazio di dimensione \(2\).[/nota]). Ora però tocca a te dimostrarlo usando i miei indizi.
Ok, allora, elimino il terzo vettore in quanto l.d.. Successivamente trovo una base. $S={(0,2,-1),(0,1,3)}$.
La miglior approssimazione è la proiezione ortogonale di $u$ su $S$, ossia $sum_(i=1)^n \langle u,e^i \ranglee^i$, dove $e^i$ sono gli elementi di $S$.
Ciò che viene fuori a me è $(0, -1/10, -41/10)$. Immagino che ci sia qualcosa che non vada.
La miglior approssimazione è la proiezione ortogonale di $u$ su $S$, ossia $sum_(i=1)^n \langle u,e^i \ranglee^i$, dove $e^i$ sono gli elementi di $S$.
Ciò che viene fuori a me è $(0, -1/10, -41/10)$. Immagino che ci sia qualcosa che non vada.
Siccome \(\displaystyle e^1 - 2e^2 = 5(0,0,1) \) e \(\displaystyle e^2 + 3e^1 = 7(0,1,0) \) avresti potuto tranquillamente usare gli ultimi due elementi della base canonica come base.
La tua base non è inoltre ortonormale e la formula che hai usato non vale per vettori non ortonormali. Nel caso di una base semplicemente ortogonale basterebbe dividere per \(\displaystyle \langle e^i, e^i \rangle \) ogni addendo, nel caso generale invece le cose si complicano.
La tua base non è inoltre ortonormale e la formula che hai usato non vale per vettori non ortonormali. Nel caso di una base semplicemente ortogonale basterebbe dividere per \(\displaystyle \langle e^i, e^i \rangle \) ogni addendo, nel caso generale invece le cose si complicano.
Ti sarò eternamente grato, mi hai aperto un mondo :')
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