Metrica Riemanniana

[leev]

Se $g_1$,$g_2$ sono metriche Riemanniane, allora per $c \in [0,1]$, $cg_1 + (1-c)g_2$ è ancora una metrica Riemanniana.
Questo mi viene detto e mi sembra di essere piuttosto d'accordo.......ma è pure il caso per una qualsiasi combinazione $ag_1 + bg_2$ con $a,b>0$, oppure no?

[Fioravante Patrone1]

"leev":Se $g_1$,$g_2$ sono metriche Riemanniane, allora per $c \in [0,1]$, $cg_1 + (1-c)g_2$ è ancora una metrica Riemanniana.
Questo mi viene detto e mi sembra di essere piuttosto d'accordo.......ma è pure il caso per una qualsiasi combinazione $ag_1 + bg_2$ con $a,b>0$, oppure no?

con $a,b > 0$ (ma bastano maggiori od uguali a zero ed entrambi non nulli), è:
$ag_1 + bg_2 = (a+b) \cdot \frac{a g_1 + b g_2}{a+b}$

Naturalmente: $\frac{a g_1 + b g_2}{a+b} = \frac{a g_1}{a+b} + \frac{b g_2}{a+b}$ e quindi, chiamando $c= \frac{a}{a+b}$, etc.


quindi la domanda "boils down to" il fatto se sia vero o no che $\alpha g$ è una metrica riemanniana se $\alpha >0$ e $g$ è una metrica riemanniana

cosa che direi sia piuttosto vera (sennò il passaggio da metri a yard potrebbe causare guai...)

[leev]

grazie Fioravante

ma che tu sappia c'è un qualche motivo che può rendere quelle combinazioni connesse (si chiamano così?), come la prima che ho scritto, più interessanti delle altre?

Io mi direi che c'è una certa somiglianza con le partizioni dell'unità (che spuntano nel seguito del corso), ma non è una grande motivazione...

[Fioravante Patrone1]

"leev":combinazioni connesse (si chiamano così?)

no, convesse

"leev":più interessanti delle altre?

Io mi direi che c'è una certa somiglianza con le partizioni dell'unità (che spuntano nel seguito del corso), ma non è una grande motivazione...

guarda, l'ultima volta che mi sono imbattuto in queste cose è stato nel 1974, seguendo il corso di fisica matematica, quindi sono un po' arrugginito

Comunque, direi "fuochino". Ma è solo una sensazione da parte di chi è abituato alla matematica.
Ad esempio, se fa comodo che la max distanza fra due punti sia 1, e se questa condizione è soddisfatta dalle 2 metriche, lo sarà anche dalla loro combinazione convessa, direi.
C'è un po' di profumo anche di "interpolazione"

Ma non darei comunque troppo peso a queste tue "preoccupazioni".