Metrica Riamanniana

[Nullissi]

Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto per un esercizio. Data una varieta M con una metrica riemanniana [tex]g= s^2 ((dx^1)^2 + (dx^2)^2)[/tex] con s funzione liscia sulle coordinate, devo trovare [tex]{\Gamma^1}_{12}[/tex] . Io so che si tratta di calcolare [tex]\frac{1} {2} g^{l1} ( \partial_1 g_{2l} + \partial_2 g_{1l} - \partial_l g_{12})[/tex] ma non ho capito nulla di questa formula, l cosa rappresenta? gli apici di g cosa rappresentano? Grazie!!

[cirasa]

Per definizione
[tex]\displaystyle g_{ij}=g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right),\ \ i,j=1,2[/tex];
[tex]\displaystyle \partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i},\ \ i=1,2[/tex];
Inoltre [tex](g^{ij})_{i,j=1,2}[/tex] è la matrice inversa di [tex](g_{ij})_{i,j=1,2}[/tex].

Nella formula è sottointesa la somma sull'indice [tex]l=1,2[/tex].

[Nullissi]

Ma come faccio a calcolare la g in [tex]\displaystyle ( \frac {\partial}{\partial x^i},\frac {\partial}{\partial x^j})[/tex]?

[cirasa]

Tu hai scritto che [tex]g=s^2\textrm{d}x^1\otimes\textrm{d}x^1+s^2\textrm{d}x^2\otimes\textrm{d}x^2[/tex].
Usa la definizione di [tex]\otimes[/tex].
Ricorda che
[tex]\displaystyle \textrm{d}x^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)=\delta_{ij},\ \ i,j=1,2[/tex].

Comunque cercare di risolvere esercizi senza conoscere le definizioni fondamentali non mi sembra la cosa giusta da fare...

[Nullissi]

Avevo problemi con la simbologia, ora ho capito. Grazie mille!

[cirasa]

Ok, meglio così.
Buono studio!