Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Ciao, ho questi tre vettori
v1 = (1 0 0) v2 = (1 2 0) v3 = (0 -1 -1)
volevo applicare il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Qualcuno saprebbe dirmi come si fa in pratica. in teoria ho capito che va ortogonalizato il sistema (mi pare di aver capito che la base è completa in quanto ho 3 vettori da 3 componenti) e successivamente normalizzato.
Qualcuno saprebbe risolvermelo in pratica?
Grazie
v1 = (1 0 0) v2 = (1 2 0) v3 = (0 -1 -1)
volevo applicare il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Qualcuno saprebbe dirmi come si fa in pratica. in teoria ho capito che va ortogonalizato il sistema (mi pare di aver capito che la base è completa in quanto ho 3 vettori da 3 componenti) e successivamente normalizzato.
Qualcuno saprebbe risolvermelo in pratica?
Grazie
Risposte
Mi sa che se non provi tu, non possiamo aiutarti (regolamento).
Allora, da come ricordo dovevo calcolare tre vettori ortogonali tra loro (sostanzialmente una basa ortogonale in tre dimensioni) e poi normalizzare i tre vettori.
Per quanto riguarda la normalizzazione devo dividere ciascun vettore per la propria norma ( radq(x^2 + y^2 + z^2) ).
Fin qui tutto giusto?
Il problema era che non mi ricordavo bene come ricavare i tre vettori ortogonalizzati.
Mi ricordo che il primo vettore lo tengo buono (w1 = v1) e poi dovevo fare un prodotto vettoriale tra v1 e un altro vettore in maniera tale da ottenere un altro vettore (w2) che risulta essere ortogonale con w1.
Qualcuno saprebbe darmi una mano su questo punto e cercare di dirmi come ottenere i vetori w2 e w3 (ortogonali tra loro con w1)?
Grazie
Per quanto riguarda la normalizzazione devo dividere ciascun vettore per la propria norma ( radq(x^2 + y^2 + z^2) ).
Fin qui tutto giusto?
Il problema era che non mi ricordavo bene come ricavare i tre vettori ortogonalizzati.
Mi ricordo che il primo vettore lo tengo buono (w1 = v1) e poi dovevo fare un prodotto vettoriale tra v1 e un altro vettore in maniera tale da ottenere un altro vettore (w2) che risulta essere ortogonale con w1.
Qualcuno saprebbe darmi una mano su questo punto e cercare di dirmi come ottenere i vetori w2 e w3 (ortogonali tra loro con w1)?
Grazie
La "formula" da usare è la seguente
$w_i=v_i-\sum_{k=1}^{i-1}\frac{v_k\times w_k}{w_k\times w_k}\cdot w_k$
dove con $\times$ ho indicato il prodotto scalare. Una volta finito, basta normalizzare i vettori $w_k$.
$w_i=v_i-\sum_{k=1}^{i-1}\frac{v_k\times w_k}{w_k\times w_k}\cdot w_k$
dove con $\times$ ho indicato il prodotto scalare. Una volta finito, basta normalizzare i vettori $w_k$.
Come hai detto il primo vettore non si cambia per cui $w_1=v_1$
Per determinare il secondo vettore $w_2$ lo consideri come combinazione lineare di $v_2 $ e di $w_1 $ tramite un coefficiente di proporzionalità $k $ ignoto ma da determinare.
Poni quindi $w_2=v_2+k w_1 $ , si vuole che $w_2 $ e $w_1 $ siano ortogonali , avranno quindi prodotto scalare nullo.
Con questa condizione determini il valore di $ k $ e quindi pure $w_2$.
Procedi poi in modo analogo per $w_$ ponendo $w_3= ...........$
Avrai quindi 3 vettori tra loro ortogonali a due a due.
Per determinare il secondo vettore $w_2$ lo consideri come combinazione lineare di $v_2 $ e di $w_1 $ tramite un coefficiente di proporzionalità $k $ ignoto ma da determinare.
Poni quindi $w_2=v_2+k w_1 $ , si vuole che $w_2 $ e $w_1 $ siano ortogonali , avranno quindi prodotto scalare nullo.
Con questa condizione determini il valore di $ k $ e quindi pure $w_2$.
Procedi poi in modo analogo per $w_$ ponendo $w_3= ...........$
Avrai quindi 3 vettori tra loro ortogonali a due a due.
Ok ho capito.. grazie
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