Metodo di Gauss e colonne linearmente indipendenti
Ciao a tutti, all'università per vedere , fra un insieme di vettori, quali di loro sono linearmente indipendenti ci hanno insegnato a metterli per colonna in una matrice , applicare il Metodo di Gauss e prendere i vettori aventi i pivot su quella colonna.
Fin qui tutto ok, quello che non ho capito è il motivo cioè perchè proprio le colonne con i pivot corrispondono ai vettori linearmente indipendenti?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
Fin qui tutto ok, quello che non ho capito è il motivo cioè perchè proprio le colonne con i pivot corrispondono ai vettori linearmente indipendenti?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
Risposte
nessuno mi sa aiutare?
bé in $ RR^3 $ se hai i seguenti vettori $ \ul(a)=(1,0,2)^T, \ul(b)=(3,-1,1)^T, \ul(c)=(0,1,-2)^T $
qui hai 3 vettori e sei in $R^3$ puoi metterli in una matrice quadrata $ A=( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) ) $
il $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) ) =7\ne 0 $ quindi i vettori sono linearmente indipendenti!
se vuoi applicare il Metodo di Gauss..dovresti trovarti una matrice triangolare superiore!..
cioè data una matrice (ammettiamo il caso 3x3) $ \Gamma=( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( a_(21) , a_(22) , a_(23) ),( a_(31) , a_(32) , a_(33) ) ) $
con il metodo di Gauss..per vedere se i vettori sono linearmente indipendenti..
dovresti trovare una matrice di questo tipo
$ Phi =( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( 0 , a_(22) , a_(23) ),( 0 , 0 , a_(33) ) ) $
con $ a_(ii)\ne 0 \text{ ossia gli elementi della diag principale tutti diversi da 0}\text $
qui hai 3 vettori e sei in $R^3$ puoi metterli in una matrice quadrata $ A=( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) ) $
il $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) ) =7\ne 0 $ quindi i vettori sono linearmente indipendenti!
se vuoi applicare il Metodo di Gauss..dovresti trovarti una matrice triangolare superiore!..
cioè data una matrice (ammettiamo il caso 3x3) $ \Gamma=( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( a_(21) , a_(22) , a_(23) ),( a_(31) , a_(32) , a_(33) ) ) $
con il metodo di Gauss..per vedere se i vettori sono linearmente indipendenti..
dovresti trovare una matrice di questo tipo
$ Phi =( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( 0 , a_(22) , a_(23) ),( 0 , 0 , a_(33) ) ) $
con $ a_(ii)\ne 0 \text{ ossia gli elementi della diag principale tutti diversi da 0}\text $
Ciao, ti ringrazio della risposta però forse mi sono spiegato male su quello che volevo chiedere:
io l'ho capito come si fa a vedere se dei vettori sono linearmente indipendenti o meno, e giustamente si può fare sia con Gauss che ( se è una matrice quadrata) calcolando il determinante. Quello che non ho capito è il perchè:
cioè mettiamo caso vorrei farlo tramite il metodo di Gauss allora io dovrei mettere i vettori per colonna , applicare il procedimento di Gauss e vedere quali colonne hanno i pivot(cioè il primo valore diverso da zero) e quindi prendere solo quest'ultime colonne(e quindi i rispettivi vettori).
Spero che mi sia spiegato bene.
Grazie ancora per la disponibilità
io l'ho capito come si fa a vedere se dei vettori sono linearmente indipendenti o meno, e giustamente si può fare sia con Gauss che ( se è una matrice quadrata) calcolando il determinante. Quello che non ho capito è il perchè:
cioè mettiamo caso vorrei farlo tramite il metodo di Gauss allora io dovrei mettere i vettori per colonna , applicare il procedimento di Gauss e vedere quali colonne hanno i pivot(cioè il primo valore diverso da zero) e quindi prendere solo quest'ultime colonne(e quindi i rispettivi vettori).
Spero che mi sia spiegato bene.
Grazie ancora per la disponibilità
il metodo di Gauss si basa sulle operazioni elementari di riga che si possono fare su un sistema lineare omogeneo mantenendo invariato l'insieme delle soluzioni di un sistema stesso (vedi la teoria).
sostanzialmente, usando l'algoritmo di Gauss sulle righe di una matrice (sistema lineare omogeneo) stai cercando la forma triangolare superiore del sistema lineare. Chiaramente, se riesci ad arrivare in fondo (e quindi hai n pivot), riesci a risolvere il sistema "all'indietro", ottenendo come unica soluzione il vettore nullo.
Le coordinate di questo vettore nullo, appena trovato, rappresentano i coefficienti tali che: una combinazione lineare delle colonne della tua matrice, usando quei coefficienti, dà il vettore nullo. Ma quei coefficienti sono anche gli unici, perciò saprai che una n-upla di vettori si dicono linearmente indipendenti se e solo se una loro combinazione lineare dà il vettore nullo solo e soltanto con i coefficienti tutti nulli.
Questa è una giustificazione del perchè Gauss ti dà l'informazione che tu sai.
PS: spero che tu riesca a capire ciò che ho scritto. Sono stato volutamente informale per evitare di usare il LaTeX. E' più semplice di quanto si possa pensare il ragionamento.
sostanzialmente, usando l'algoritmo di Gauss sulle righe di una matrice (sistema lineare omogeneo) stai cercando la forma triangolare superiore del sistema lineare. Chiaramente, se riesci ad arrivare in fondo (e quindi hai n pivot), riesci a risolvere il sistema "all'indietro", ottenendo come unica soluzione il vettore nullo.
Le coordinate di questo vettore nullo, appena trovato, rappresentano i coefficienti tali che: una combinazione lineare delle colonne della tua matrice, usando quei coefficienti, dà il vettore nullo. Ma quei coefficienti sono anche gli unici, perciò saprai che una n-upla di vettori si dicono linearmente indipendenti se e solo se una loro combinazione lineare dà il vettore nullo solo e soltanto con i coefficienti tutti nulli.
Questa è una giustificazione del perchè Gauss ti dà l'informazione che tu sai.
PS: spero che tu riesca a capire ciò che ho scritto. Sono stato volutamente informale per evitare di usare il LaTeX. E' più semplice di quanto si possa pensare il ragionamento.
Io la farei ancora più semplice. Le operazioni di Gauss non cambiano la dipendenza o l'indipendenza lineare. Quindi è la stessa cosa studiare queste cose sulla matrice originaria o sulla matrice ridotta a scalini. Ma sulla matrice a scalini è *ovvio* che la dipendenza o l'indipendenza lineare si riducono alla lettura dei pivot. (Bisogna rifletterci un attimo. Ma è veramente ovvio).
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