Metodo di Gauss con pivot parziale
Buongiorno. Ho il seguente problema, ho capito come funziona il metodo di Gauss con pivot parziale ma non capisco una cosa. Se ho capito bene se ho una matrice completa (ovvero coefficienti e termini noti insieme)
$[[a_(11), a_(12), ..., a_(1n) ],[a_(21), a_(22), ..., ....],[..., ...., ...., ....],[a_(n1), a_(n2), ..., a_(n n)]]*[[b_1], [b_2], [...], [b_n]]$
L'ipotesi per applicare il metodo di gauss è che $a_11$ deve essere $!=0$, dopodiché si vanno ad annullare tutti gli elementi al di sotto della prima riga moltiplicando la prima riga per uno scalare $c$ e sommandola alla seconda riga in modo che il primo termine della seconda riga si annulli.
$-c*a_(11) + a_(21) = 0 => c = a_(21)/(a_11)$
questo ragionamento vale per tutti i primi elementi delle righe successive. Fatto questo si lavora sulla seconda colonna e affinché sia possibile continuare il procedimento deve essere $a'_(22) != 0$ se non è così, si applica la tecnica del pivot parziale cercando
l'elemento pivot, ossia il massimo tra i valori di tutti gli elementi che si trovano al di sotto della diagonale principale nella seconda colonna. Inoltre il pivot non può essere nullo altrimenti la matrice risulterebbe singolare.
Qui poi il professore introduce Laplace e dice che è possibile applicare Laplace, però non capisco perché introduce questo metodo per il calcolo del determinante delle matrici. Forse vuole dimostrare che se il pivot è nullo, calcolando con Laplace il determinante della matrice, i minori principali risultano avere determinante nullo e quindi la matrice completa risulta essere singolare?
$[[a_(11), a_(12), ..., a_(1n) ],[a_(21), a_(22), ..., ....],[..., ...., ...., ....],[a_(n1), a_(n2), ..., a_(n n)]]*[[b_1], [b_2], [...], [b_n]]$
L'ipotesi per applicare il metodo di gauss è che $a_11$ deve essere $!=0$, dopodiché si vanno ad annullare tutti gli elementi al di sotto della prima riga moltiplicando la prima riga per uno scalare $c$ e sommandola alla seconda riga in modo che il primo termine della seconda riga si annulli.
$-c*a_(11) + a_(21) = 0 => c = a_(21)/(a_11)$
questo ragionamento vale per tutti i primi elementi delle righe successive. Fatto questo si lavora sulla seconda colonna e affinché sia possibile continuare il procedimento deve essere $a'_(22) != 0$ se non è così, si applica la tecnica del pivot parziale cercando
l'elemento pivot, ossia il massimo tra i valori di tutti gli elementi che si trovano al di sotto della diagonale principale nella seconda colonna. Inoltre il pivot non può essere nullo altrimenti la matrice risulterebbe singolare.
Qui poi il professore introduce Laplace e dice che è possibile applicare Laplace, però non capisco perché introduce questo metodo per il calcolo del determinante delle matrici. Forse vuole dimostrare che se il pivot è nullo, calcolando con Laplace il determinante della matrice, i minori principali risultano avere determinante nullo e quindi la matrice completa risulta essere singolare?
Risposte
Applicando Gauss con pivoting parziale riduci (se possibile) la data matrice ad una matrice triangolare il cui determinante è il prodotto dei termini della diagonale.
Mi spieghi meglio esattamente dove introduce (la formula del determinante secondo?) Laplace!
Mi spieghi meglio esattamente dove introduce (la formula del determinante secondo?) Laplace!
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