Metodo degli orlati
Salve, devo calcolare il rango di questa matrice al variare di un parametro
$A=((1,0,1,t^2),(1,0,t,2t-1),(0,1,t,2-t))$
Ho inizialmente operato nel metodo più vicino alla definizione di rango, cioè ho ridotto la matrice
$A'=((1,0,1,t^2),(0,1,t,2-t),(0,0,1-t,(t-1)^2))$
Se $t=1$ la 3a riga di $A'$ si annulla e il rango dovrebbe 2. Se $t!=1$ il rango è 3.
Ora ho provato anche con il toerema degli orlati.
Ad esempio se prendo la sottomatrice della matrice
$A"=((1,0,1,t^2),(0,0,1-t,(t-1)^2),(0,1,t,2-t))$
Se prendo $A"(1,2,3|1,2,3)$ questa ha determinante $t-1$. Se $t!=1$ il rango è 3; se $t=1$ invece il rango della matrice è 2.
Potrei chiedervi se ho ragionato bene (soprattutto perché non ho ragionato troppo sulla colonna a destra)? Quando conviene il teorema degli orlati e quando la riduzione?
Grazie
$A=((1,0,1,t^2),(1,0,t,2t-1),(0,1,t,2-t))$
Ho inizialmente operato nel metodo più vicino alla definizione di rango, cioè ho ridotto la matrice
$A'=((1,0,1,t^2),(0,1,t,2-t),(0,0,1-t,(t-1)^2))$
Se $t=1$ la 3a riga di $A'$ si annulla e il rango dovrebbe 2. Se $t!=1$ il rango è 3.
Ora ho provato anche con il toerema degli orlati.
Ad esempio se prendo la sottomatrice della matrice
$A"=((1,0,1,t^2),(0,0,1-t,(t-1)^2),(0,1,t,2-t))$
Se prendo $A"(1,2,3|1,2,3)$ questa ha determinante $t-1$. Se $t!=1$ il rango è 3; se $t=1$ invece il rango della matrice è 2.
Potrei chiedervi se ho ragionato bene (soprattutto perché non ho ragionato troppo sulla colonna a destra)? Quando conviene il teorema degli orlati e quando la riduzione?
Grazie
Risposte
Non c'era bisogno di scrivere tutta questa domanda, lo svolgimento è corretto, come tu stesso hai verificato. Quanto a quando convenga un metodo sull'altro, credo che computazionalmente il metodo di Gauss sia sempre meno intensivo, come calcoli (questi sono teoremi che si dimostrano in algebra lineare numerica).
Il metodo degli orlati può essere più utile quando la matrice ha molti zeri o se ha particolari simmetrie. Lo puoi usare anche per stabilire alcune formule in geometria analitica, ma francamente sono tutte cose che non ho mai più incontrato dopo aver dato l'esame di Geometria. Il metodo di Gauss invece è una cosa che capita spesso.
Il metodo degli orlati può essere più utile quando la matrice ha molti zeri o se ha particolari simmetrie. Lo puoi usare anche per stabilire alcune formule in geometria analitica, ma francamente sono tutte cose che non ho mai più incontrato dopo aver dato l'esame di Geometria. Il metodo di Gauss invece è una cosa che capita spesso.
In realtà mentre riscrivevo il posto ho corretto un'errore che mi aveva fatto perdere molto tempo e ho lasciato per verificare il tutto.
Comunque mi è sorto un nuovo dubbio
Risolvendo in sistema lineare che ha questa matrice associata
$((1,3t,1,1,|1),(1,1,2,1,|1),(t,0,0,t,|5))$
Ho cercato di ridurre a gradini avendo
$((1,3t,1,1,|1),(0,1-3t,1,0,|0),(0,-3t^2,-t,0,|5-t))$ $=>$ $((1,3t,1,1,|1),(0,1-3t,1,0,|0),(0,0,0,t,|5))$
Ora se $t=0$ la matrice incompleta e quella completa hanno ranghi diversi e il sistema infatti è impossibile.
Mentre se $t=\frac{1}{3}$ il sistema è indeterminato con 2 parametri liberi, quindi il rango di entrambe le matrici dovrebbe essere 2! Ma quella incompleta sembra aver rango 3!
In questo caso mi sono bloccato, non so se ho proceduto bene. Spero mi possiate aiutare
Comunque mi è sorto un nuovo dubbio
Risolvendo in sistema lineare che ha questa matrice associata
$((1,3t,1,1,|1),(1,1,2,1,|1),(t,0,0,t,|5))$
Ho cercato di ridurre a gradini avendo
$((1,3t,1,1,|1),(0,1-3t,1,0,|0),(0,-3t^2,-t,0,|5-t))$ $=>$ $((1,3t,1,1,|1),(0,1-3t,1,0,|0),(0,0,0,t,|5))$
Ora se $t=0$ la matrice incompleta e quella completa hanno ranghi diversi e il sistema infatti è impossibile.
Mentre se $t=\frac{1}{3}$ il sistema è indeterminato con 2 parametri liberi, quindi il rango di entrambe le matrici dovrebbe essere 2! Ma quella incompleta sembra aver rango 3!
In questo caso mi sono bloccato, non so se ho proceduto bene. Spero mi possiate aiutare
Non è ridotta a gradini (completamente) ... peraltro mi pare che il rango sia sempre $3$ ...
Visto che non riesco a ridurla ulteriormente, non posso calcolarmi il numero di pivot? Devo procedere con gli orlati per forza?
Certo che puoi ridurla ulteriomente ... comunque, anche senza ridurla ulteriormente, ribadisco che ponendo $t=1/3$, il rango è $3$ (hai tre colonne pivot: la prima, la terza e la quarta)
In effetti sono io che mi sto incartando!
Se $rg(A)=rg(A|b)=3$ ci dovrebbero essere 4-3=1 parametro libero e mi trovo.
Il sistema avrebbe una soluzione unica se $rg(A)=rg(A|b)=4$?
Se $rg(A)=rg(A|b)=3$ ci dovrebbero essere 4-3=1 parametro libero e mi trovo.
Il sistema avrebbe una soluzione unica se $rg(A)=rg(A|b)=4$?
Eh, ma una matrice $3 xx 4$ non potrà mai avere rango $4$ ... 
... il rango di una matrice, al massimo, è il minimo tra le righe e le colonne ... tra l'altro, se ci sono più incognite che equazioni, o il sistema è impossibile o ha infinite soluzioni ...
... il rango di una matrice, al massimo, è il minimo tra le righe e le colonne ... tra l'altro, se ci sono più incognite che equazioni, o il sistema è impossibile o ha infinite soluzioni ...
Ok quindi è impossibile già in partenza che il sistema sia compatibile con un'unica soluzione!
Grazie mille!
Grazie mille!
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