Metodo Decomposizione Matrice
Ciao ragazzi, che metodo conviene usare per decomporre una matrice nella somma di due matrici che appartengono a due spazi vettoriali diversi tra loro?
Risposte
È una domanda un po' troppo vaga... quali altre informazioni puoi darci? Quale matrice vuoi decomporre? In quali spazi vettoriali?
Si considerino in $R^{2,2}$ i sottospazi vettoriali:
$W_1={ ((x_1,x_2),(x_3,x_4))\in R^{2,2} | x_1-x_2=x_3-x_4=0 }$
$W_2=L( ((1,-1),(2,1)) ((2,0),(1,3)) ((0,-2),(3,-1)) )$
1. Determinare la dimensione e una base di $W_1$ e di $W_2$ .
2. Determinare una base e la dimensione di $ W_1 + W_2$ . Dire se $W_1 + W_2$ è una somma diretta.
3. Decomporre la matrice:
$ A=( (1,1),(1,-2) ) $
come somma di una matrice in $ W_1$ e di una matrice in $W_2$ .
Il primo punto e il secondo sono semplici: scrivo direttamente quello che ho ricavato e che sono concordi con le soluzioni dell'esercizio .
$W_1=L( ((1,1,0,0)(0,0,1,1)) )$ $dim(W_1)=2$
$W_2=L( ((1,-1,2,1)(0,2,-3,1)) )$ $dim(W_2)=2$
$rank(W_1+W_2)=4$ e $dim(W_1+W_2)=4$ quindi per grassmann si ha che la $dim(W_1 nn W_2)=0$ pertanto $W_1$ e $W_2$ sono in somma diretta.
Il punto che mi sfugge è il terzo. Per risolverlo pensavo di scrivere le componenti in colonna della matrice $A$ uguagliarle alle componenti in colonna dei vettori che generano le basi $W_1$ e $W_2$ moltiplicate per dei fattori tipo $\lambda_1 $ e così via. Tuttavia non credo sia il metodo più corretto.
Come mi consigli di fare la decomposizione ?
grazie mille
$W_1={ ((x_1,x_2),(x_3,x_4))\in R^{2,2} | x_1-x_2=x_3-x_4=0 }$
$W_2=L( ((1,-1),(2,1)) ((2,0),(1,3)) ((0,-2),(3,-1)) )$
1. Determinare la dimensione e una base di $W_1$ e di $W_2$ .
2. Determinare una base e la dimensione di $ W_1 + W_2$ . Dire se $W_1 + W_2$ è una somma diretta.
3. Decomporre la matrice:
$ A=( (1,1),(1,-2) ) $
come somma di una matrice in $ W_1$ e di una matrice in $W_2$ .
Il primo punto e il secondo sono semplici: scrivo direttamente quello che ho ricavato e che sono concordi con le soluzioni dell'esercizio .
$W_1=L( ((1,1,0,0)(0,0,1,1)) )$ $dim(W_1)=2$
$W_2=L( ((1,-1,2,1)(0,2,-3,1)) )$ $dim(W_2)=2$
$rank(W_1+W_2)=4$ e $dim(W_1+W_2)=4$ quindi per grassmann si ha che la $dim(W_1 nn W_2)=0$ pertanto $W_1$ e $W_2$ sono in somma diretta.
Il punto che mi sfugge è il terzo. Per risolverlo pensavo di scrivere le componenti in colonna della matrice $A$ uguagliarle alle componenti in colonna dei vettori che generano le basi $W_1$ e $W_2$ moltiplicate per dei fattori tipo $\lambda_1 $ e così via. Tuttavia non credo sia il metodo più corretto.
Come mi consigli di fare la decomposizione ?
grazie mille
Qualcuno che mi possa dare una mano?
Nessuno? 
"Dave95":
Nessuno?
Ciao, provo io
Se ho capito bene tu vuoi fare così: sia $B_(W_1) = { ((1, 1), (0,0)), ((0, 0), (1, 1))}$ una base di $W_1$, $B_(W_2) = {((1, -1), (2, 1)), ((2, 0),(1,3))}$ una base di $W_2$, $B = B_(W_1) \uu B_(W_2)$ è una base di $\mathbb{R^(2,2)}$ perché $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R^(2,2)}$. Consideri $A = ( (1, 1), (1, - 2))$ come $v = ((1), (1), (1),(-2))$ e imposti l'equazione:
$a( (1), (0), (1), (0)) + b( (0), (1), (0), (1)) + c((1), (2), (-1), (1)) + d((2), (1), (0), (3)) = ((1), (1), (1),(-2))$ e quindi arrivi al sistema lineare ${(a + c + 2d = 1), (b + 2c + d = 1), (a -c = 1), (b + c + 3d = -2):}$, la cui soluzione $(a_0, b_0, c_0,d_0)$ fornisce la decomposizione cercata: $A = a_0((1, 1), (0,0))+b_0((0, 0), (1, 1)) + c_0((1, -1), (2, 1))+d_0((2, 0),(1,3)) = B + C$ dove $a_0((1, 1), (0,0))+b_0((0, 0), (1, 1))=B \in W_1$ e $c_0((1, -1), (2, 1))+d_0((2, 0),(1,3)) = C \in W_2$.
Giusto?
Se sì, il metodo è corretto perché esiste un isomorfismo $f:\mathbb{R^(2,2)}->\mathbb{R^4}$ che associa ad ogni matrice $A = ((A^1, A^2))$ il vettore $v = ( (A^1), (A^2))$ dove $A^i$ è l'iesima colonna di $A$. Quindi in sostanza puoi identificare una matrice di numeri con un vettore colonna di numeri a patto però di ritrasportare il risultato nello spazio delle matrici.
Questo fatto si generalizza: $\mathbb{K^(n, m)} \cong \mathbb{K^(nm)}$, dove $\mathbb{K}$ è un campo.
EDIT: corretti alcuni errori nei vettori, pardon.
Oh, grazie mille Shocker per la risposta!
A ogni modo, si la mia intenzione era quella ( ad intuito sono sincero ) . Per l'isomorfismo non saprei dirti in quanto ancora non abbiamo trattato questo argomento con il professore.
Appena arrivo a casa butto giù questo metodo e controllo se le soluzioni che ottengo coincidono con quelle fornite dal foglio del tutoraggio. Grazie mille ancora!
A ogni modo, si la mia intenzione era quella ( ad intuito sono sincero ) . Per l'isomorfismo non saprei dirti in quanto ancora non abbiamo trattato questo argomento con il professore.
Appena arrivo a casa butto giù questo metodo e controllo se le soluzioni che ottengo coincidono con quelle fornite dal foglio del tutoraggio. Grazie mille ancora!
"Dave95":
Oh, grazie mille Shocker per la risposta!
A ogni modo, si la mia intenzione era quella ( ad intuito sono sincero ) . Per l'isomorfismo non saprei dirti in quanto ancora non abbiamo trattato questo argomento con il professore.
Appena arrivo a casa butto giù questo metodo e controllo se le soluzioni che ottengo coincidono con quelle fornite dal foglio del tutoraggio. Grazie mille ancora!
Di nulla
Alternativamente(il metodo è proprio uguale, cambia la forma), imposti l'equazione:
$A = a((1, 1), (0,0))+b((0, 0), (1, 1)) + c((1, -1), (2, 1))+d((2, 0),(1,3))$
$A = ( (a +c +2d, a -c), (b + 2c + d, b + c + 3d))$
Due matrici $A, B$ della stessa dimensione sono uguali se e solo se $[A]_(ij) = _(ij)$ per ogni $i,j$, uguagliando quindi le componenti di $( (1, 1), (1, - 2))$ con quelle di $((a +c +2d, a -c), (b + 2c + d, b + c + 3d))$ ottieni il sistema di prima.
Ok Shocker, ho appena fatto l'esercizio ed è tutto giusto in quanto le soluzioni coincidono. Che dire grazie mille! Buona giornata!
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