Metodo coniche
Salve tutti io dovrei studiare al variare di K il seguente fascio di coniche:
Kx\(\displaystyle^2 \) + (k-2)y\(\displaystyle^2 \) - 2xy - 4k =0
dunque creo le due matrici associate A e B
calcolo i determinanti e poi come classifico la conica?
Kx\(\displaystyle^2 \) + (k-2)y\(\displaystyle^2 \) - 2xy - 4k =0
dunque creo le due matrici associate A e B
calcolo i determinanti e poi come classifico la conica?
Risposte
se il determinante di B non è nullo avrai una conica irriducibile. In tal caso distinguerai i 3 casi in base al valore del determinante di A:
1) $|A| <0$ -> avrai un'iperbole (equilatera se $Tr(A)=a_11+a_12=0$)
2) $|A|=0$ -> avrai una parabola
3) $|A|>0$ -> avrai un'ellisse (circonferenza se non comparirà il termine $xy$, se non sbaglio è solo questa la condizione)
mentre se il determinante di B sarà nullo avrai delle coniche spezzate.
1) $|A| <0$ -> avrai un'iperbole (equilatera se $Tr(A)=a_11+a_12=0$)
2) $|A|=0$ -> avrai una parabola
3) $|A|>0$ -> avrai un'ellisse (circonferenza se non comparirà il termine $xy$, se non sbaglio è solo questa la condizione)
mentre se il determinante di B sarà nullo avrai delle coniche spezzate.
ma dei risultati dell equazione che me ne faccio?
Forse sono io che non capisco... di quale equazione parli?
Quando mi calcolo il determinante di A solitamente mi resta qualcosa tipo K^2 + K + 1
Sono un po' digiuna di queste cose ma se non ho capito male... il determinante della tua matrice non ha un valore ben specificato, ma dipende dal valore che darai al parametro k.
Allora ti ritrovi una espressione di II grado in funzione di k, e dici se questa espressione è maggiore di 0 hai una ellissi, se è uguale a 0, una parabola, se minore di 0 una iperbole. Come fai a sapere per quali valori, intervalli di valori, si verificano queste condizioni?
Non devi far altro che studiare una disequazione di II grado in funzione di k, giusto?
Allora ti ritrovi una espressione di II grado in funzione di k, e dici se questa espressione è maggiore di 0 hai una ellissi, se è uguale a 0, una parabola, se minore di 0 una iperbole. Come fai a sapere per quali valori, intervalli di valori, si verificano queste condizioni?
Non devi far altro che studiare una disequazione di II grado in funzione di k, giusto?
E una volta studiato il segno che faccio con le soluzioni?
classifichi la conica...
allora se k è così avrò una iperbole, se è nell'altro modo, un'ellissi, se assume questi due (distinti o coincidenti) valori avrò una parabola...
Che risultati ti vengono?
allora se k è così avrò una iperbole, se è nell'altro modo, un'ellissi, se assume questi due (distinti o coincidenti) valori avrò una parabola...
Che risultati ti vengono?
Supponendo che le radici dell'equazione sono x=-2 e x=4
K=-2 e k=4, se il parametro assume questi valori allora la conica sarà una parabola perchè in questi due casi il determinante vale 0, per classificare gli altri casi devi dirmi com'è la concavità della parabola, cioè il coefficiente di $k^2$ è positivo o negativo?
ma non capisco perchè ti stai confondendo..il determinante avrà la struttura di un'equazione (generalmente di primo o al massimo secondo grado) quindi devi vedere quando quell'equazione è nulla, quando è minore di zero e quando è positiva.
Se ad esempio hai che il determinante della matrice A sarà uguale a $k-4$ dirai:
$|A|=0$ per $k=4$ e quindi in questo caso avremo una parabola
$|A|>0$ per $k>4$ e quindi in questo caso avremo un'ellisse
e infine per $k<4$, $|A|<0$ e quindi avrai un'iperbole
Se ad esempio hai che il determinante della matrice A sarà uguale a $k-4$ dirai:
$|A|=0$ per $k=4$ e quindi in questo caso avremo una parabola
$|A|>0$ per $k>4$ e quindi in questo caso avremo un'ellisse
e infine per $k<4$, $|A|<0$ e quindi avrai un'iperbole
Positivo. Comquneu non ho capito perchè sarà una parabola e il determinante vale 0?
Le coniche possono essere: parabole, ellissi, iperboli, oppure casi limite rette, ho detto bene ska89?
Come fai a sapere che conica hai? Fai il determinante, i casi te li ha già spiegati ska89.
Come fai a sapere che conica hai? Fai il determinante, i casi te li ha già spiegati ska89.
Ho capito grazie mille!!!
"gio73":
Le coniche possono essere: parabole, ellissi, iperboli, oppure casi limite rette, ho detto bene ska89?
Come fai a sapere che conica hai? Fai il determinante, i casi te li ha già spiegati ska89.
tutto esattissimo..
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