$M(cost,sint)$ ellisse?
Ciao, amici! Facendo qualche esperimento con il graficatore al PC ho notato che, per \(\mathbf{x}(t)=(\cos t,\sin t)\), scegliendo qualunque matrice $M\in M_2(RR)$ che non abbia righe di soli zeri, la curva $M\mathbf{x}(t)$ somiglia ad un'ellisse e ho l'impressione che in generale lo sia, ma non saprei come dimostrarlo correttamente...
Data l'equazione di un'ellisse $\mathbf{r}(t)=(a \cos t,b\sin t),a,b\ne 0$ (o con componenti scalari scambiate di posto) avrei supposto che, applicandole una matrice di rotazione $Q$, ogni (ma come dirò più avanti credo che la supposizione sia errata) ellisse centrata nell'origine abbia equazione di tipo
\(Q\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos\theta\cos t -b\sin\theta\sin t \\ a\sin\theta\cos t +b\cos\theta\sin t\end{pmatrix}\) (oppure $Q\mathbf{r}(t)$ con $\mathbf{r}$ con componenti scalari invertite), perciò mi sembrerebbe che se ammettessero sempre soluzione per $\theta$ -eccetto quando $M$ ha una riga multipla dell'altra, nel qual caso si ha una retta- le equazioni
\(Q\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cos\theta & -b\sin\theta \\ a\sin\theta & b\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}=M\) si avrebbe la tesi che ogni $M\mathbf{x}(t)$ è un'ellisse.
Senonché mi pare che sia equazione di un'ellisse anche una forma con un $m_{ij}=0$ e tutti gli altri coefficienti non nulli, ma questo, se fosse vero che $M$ debba avere la forma da me ipotizzata, implicherebbe che anche $m_{ji}=0$ (perché un coefficiente di $Q$ è nullo se e solo se il seno o coseno è nullo), quindi non so dove il mio ragionamento sia sbagliato...
Qualcuno sarebbe così magnanimo da aprire uno spiraglio di luce in questa oscurità?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Data l'equazione di un'ellisse $\mathbf{r}(t)=(a \cos t,b\sin t),a,b\ne 0$ (o con componenti scalari scambiate di posto) avrei supposto che, applicandole una matrice di rotazione $Q$, ogni (ma come dirò più avanti credo che la supposizione sia errata) ellisse centrata nell'origine abbia equazione di tipo
\(Q\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos\theta\cos t -b\sin\theta\sin t \\ a\sin\theta\cos t +b\cos\theta\sin t\end{pmatrix}\) (oppure $Q\mathbf{r}(t)$ con $\mathbf{r}$ con componenti scalari invertite), perciò mi sembrerebbe che se ammettessero sempre soluzione per $\theta$ -eccetto quando $M$ ha una riga multipla dell'altra, nel qual caso si ha una retta- le equazioni
\(Q\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cos\theta & -b\sin\theta \\ a\sin\theta & b\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}=M\) si avrebbe la tesi che ogni $M\mathbf{x}(t)$ è un'ellisse.
Senonché mi pare che sia equazione di un'ellisse anche una forma con un $m_{ij}=0$ e tutti gli altri coefficienti non nulli, ma questo, se fosse vero che $M$ debba avere la forma da me ipotizzata, implicherebbe che anche $m_{ji}=0$ (perché un coefficiente di $Q$ è nullo se e solo se il seno o coseno è nullo), quindi non so dove il mio ragionamento sia sbagliato...
Qualcuno sarebbe così magnanimo da aprire uno spiraglio di luce in questa oscurità?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
Se vuoi avere qualche speranza di affrontare questo genere di problemi, devi dare una definizione più generale di ellisse. Quella formula vale solo per ellissi centrate in zero ed allineate con gli assi. Una ellissi in generale non è allineata con gli assi e non è centrata nell'origine. Una ellisse centrata in \(C = (c_x, c_y) \) e con un asse allineato con il vettore \(\mathbf e = (e_x, e_y) \), avrà equazione
\[ a\,\cos\alpha\,\mathbf e + b\,\sin\alpha\,(J\,\mathbf e) + C = (a\,\cos\alpha\,e_x - b\,\sin\alpha\,e_y + c_x, a\,\cos\alpha\,e_y + b\,\sin\alpha\,e_x + c_y) \]
dove \(J\) è la rotazione di \(\pi/2\) in senso antiorario per cui \( J\,\mathbf e = (- e_y, e_x). \) Ma forse è meglio utilizzare una qualche definizione meno legata alle coordinate e più generale.
EDIT: Quando moltiplichi per una matrice \(M\) si ottiene l'equazione
\[ a\,\cos\alpha\,(M\,\mathbf e) + b\,\sin\alpha\,(M\,J\,\mathbf e) + M\,C. \]
Se avessi \(M\,J = J\,M\), allora è abbastanza evidente che l'immagine sia una ellisse di centro \(M\,C\) e con un asse allineato con \(M\,\mathbf e\). Quella equazione è sempre vera? Non è mai vera? E' vera solo ogni tanto? Esiste forse un modo per aggiustare le cose anche nel caso non fosse vera?
\[ a\,\cos\alpha\,\mathbf e + b\,\sin\alpha\,(J\,\mathbf e) + C = (a\,\cos\alpha\,e_x - b\,\sin\alpha\,e_y + c_x, a\,\cos\alpha\,e_y + b\,\sin\alpha\,e_x + c_y) \]
dove \(J\) è la rotazione di \(\pi/2\) in senso antiorario per cui \( J\,\mathbf e = (- e_y, e_x). \) Ma forse è meglio utilizzare una qualche definizione meno legata alle coordinate e più generale.
EDIT: Quando moltiplichi per una matrice \(M\) si ottiene l'equazione
\[ a\,\cos\alpha\,(M\,\mathbf e) + b\,\sin\alpha\,(M\,J\,\mathbf e) + M\,C. \]
Se avessi \(M\,J = J\,M\), allora è abbastanza evidente che l'immagine sia una ellisse di centro \(M\,C\) e con un asse allineato con \(M\,\mathbf e\). Quella equazione è sempre vera? Non è mai vera? E' vera solo ogni tanto? Esiste forse un modo per aggiustare le cose anche nel caso non fosse vera?
Grazie di cuore, apatriarca!!!! Certo, mi è chiaro che, se $C$ non è l'origine, le ellissi centrate in $C=(0,0)$ che ho immaginato io sono traslate secondo il vettore \(\overrightarrow{OC}\).
L'equazione $a\cos\alpha\mathbf{e} + b\sin\alpha (J\mathbf{e})$ non è lo stesso di quel \(Q\mathbf{r}(t)=a\cos t\begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}+b\sin t\begin{pmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix}\) che ho scritto sopra, se rinominiamo $\alpha$ come $t$, il tuo $a$ come $a||\mathbf e||^{-1}$ e $b$ come $b||\mathbf e||^{-1}$, chiamando $\theta$ l'angolo tra l'asse delle $x$ ed $\mathbf e$? Se così fosse direi che, allora, la mia ipotesi che ogni ellisse centrata in $O$ debba avere equazione $Q\mathbf{r}(t)$ mi sembrerebbe non insensata...
$+oo$ grazie ancora!!!!
L'equazione $a\cos\alpha\mathbf{e} + b\sin\alpha (J\mathbf{e})$ non è lo stesso di quel \(Q\mathbf{r}(t)=a\cos t\begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}+b\sin t\begin{pmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix}\) che ho scritto sopra, se rinominiamo $\alpha$ come $t$, il tuo $a$ come $a||\mathbf e||^{-1}$ e $b$ come $b||\mathbf e||^{-1}$, chiamando $\theta$ l'angolo tra l'asse delle $x$ ed $\mathbf e$? Se così fosse direi che, allora, la mia ipotesi che ogni ellisse centrata in $O$ debba avere equazione $Q\mathbf{r}(t)$ mi sembrerebbe non insensata...
$+oo$ grazie ancora!!!!
Nel mio caso non ho supposto che \( \mathbf e \) fosse di lunghezza unitaria, ma alla fine è la stessa cosa. Ti faccio però notare che tutto ciò non risolve però il problema. Non è vero che \(M\,J = J\,M\) per qualsiasi matrice \(M\) per cui è necessario avere una nuova idea..
Grazie di cuore ancora! Avevo ipotizzato, per ogni matrice $M$ che non abbia una riga multipla dell'altra (o nulla: in pratica $r(M)=2$), che \(M\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\) fosse un'ellisse centrata nell'origine, però, essendo ogni ellisse (utilizzo i nomi dei coefficienti che hai usato tu) di forma
\[\begin{pmatrix} ae_x & -be_y \\ ae_y & be_x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\]
direi che una matrice di tipo \(M\) sia tale che \(M\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\) sia un'ellisse se e solo se i coefficienti risolvono le equazioni
\[\begin{pmatrix} ae_x & -be_y \\ ae_y & be_x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}=M\]
quindi mi pare che non basti che una riga non sia multiplo dell'altra. In particolare, direi che, se $m_{ij}=0$, affinché \(M\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\) sia un'ellisse, debba essere nullo anche $m_{ji}$, perché \(m_{11}=0\iff e_x=0\iff m_{22}=0\) e \(m_{12}=0\iff e_y=0\iff m_{21}=0\).
Grazie ancora!!!!
\[\begin{pmatrix} ae_x & -be_y \\ ae_y & be_x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\]
direi che una matrice di tipo \(M\) sia tale che \(M\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\) sia un'ellisse se e solo se i coefficienti risolvono le equazioni
\[\begin{pmatrix} ae_x & -be_y \\ ae_y & be_x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}=M\]
quindi mi pare che non basti che una riga non sia multiplo dell'altra. In particolare, direi che, se $m_{ij}=0$, affinché \(M\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\) sia un'ellisse, debba essere nullo anche $m_{ji}$, perché \(m_{11}=0\iff e_x=0\iff m_{22}=0\) e \(m_{12}=0\iff e_y=0\iff m_{21}=0\).
Grazie ancora!!!!
Il problema di rappresentare le ellissi in questo modo è che, come ho mostrato sopra, questa forma non è in generale invariante per trasformazioni lineari. Questo non significa però che il sostegno dell'immagine non possa essere comunque una ellisse. Esistono diverse parametrizzazioni per una stessa curva e una di queste potrebbe avere la forma da te desiderata. E' a mio parere una strada molto difficile da intraprendere.
Considera per esempio la matrice
\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
e la circonferenza unitaria \(C = ( \cos\theta, \sin\theta )\). L'immagine della circonferenza unitaria attraverso \(M\) è
\[ M\,C = ( \cos\theta, \cos\theta + \sin\theta ). \]
Si tratta di una ellisse? A prima vista, data questa equazione è difficile a dirsi. Prendiamo quindi una strada diversa. L'equazione cartesiana della circonferenza è \( x^2 + y^2 = 1 \). Se definiamo \( z = x \) e \( w = x + y \) come le coordinate dell'immagine attraverso la trasformazione \(M\), abbiamo che l'immagine della circonferenza ha equazione \( z^2 + (w - z)^2 = 1. \) Facendo quindi qualche calcolo otteniamo l'equazione \( 2\,z^2 + w^2 - 2\,z\,w = 1 \) che è l'equazione di un ellisse (come si vede facilmente dalla teorie sulle coniche).
Considera per esempio la matrice
\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
e la circonferenza unitaria \(C = ( \cos\theta, \sin\theta )\). L'immagine della circonferenza unitaria attraverso \(M\) è
\[ M\,C = ( \cos\theta, \cos\theta + \sin\theta ). \]
Si tratta di una ellisse? A prima vista, data questa equazione è difficile a dirsi. Prendiamo quindi una strada diversa. L'equazione cartesiana della circonferenza è \( x^2 + y^2 = 1 \). Se definiamo \( z = x \) e \( w = x + y \) come le coordinate dell'immagine attraverso la trasformazione \(M\), abbiamo che l'immagine della circonferenza ha equazione \( z^2 + (w - z)^2 = 1. \) Facendo quindi qualche calcolo otteniamo l'equazione \( 2\,z^2 + w^2 - 2\,z\,w = 1 \) che è l'equazione di un ellisse (come si vede facilmente dalla teorie sulle coniche).
Capito. Non vedo l'ora di approfondire sul Sernesi la teoria sulle coniche, argomento classico della geometria elementare da Menecmo in poi... $+oo$ grazie di nuovo!
Scusami tanto, apatriarca -ma la domanda è rivolta a chiunque passi di qui-, volevo chiedere una conferma per essere sicuro di aver capito correttamente: quindi tutte le curve di equazione \(a\,\cos\alpha\,\mathbf e + b\,\sin\alpha\,(J\,\mathbf e)\) con \(\mathbf e\ne\mathbf 0\) sono ellissi centrate nell'origine, ma non tutte le ellissi di $RR^2$ centrate nell'origine hanno necessariamente equazione \(a\,\cos\alpha\,\mathbf e + b\,\sin\alpha\,(J\,\mathbf e)\), cioè non tutte sono il risultato di una rotazione di \(\mathbf{r}(\alpha)=(a\|\mathbf e\| \cos \alpha,b\|\mathbf e\| \sin \alpha),a,b\ne 0\) (che, per quanto detto nel mio secondo messaggio del thread, dovrebbe essere equivalente): giusto?
$\aleph_1$ grazie!!!
$\aleph_1$ grazie!!!
No, tutte le ellissi si possono scrivere in quel modo ma questa equazione non è invariante per trasformazioni lineari del piano.
Grazie: allora avevo capito male! Quindi possiamo stare certi che, per esempio per il caso di $MC(\theta)$ che hai citato, per qualche scelta di $\mathbf e$, di $J$, di $a$ e di $b$, per ogni $\theta$ esista un $\alpha$ (e per ogni $\alpha$ esista un $\theta$) tali che \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}=a\,\cos\alpha\,\mathbf e + b\,\sin\alpha\,(J\,\mathbf e)\), giusto?
$\aleph_2$ grazie!!!
$\aleph_2$ grazie!!!
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