Mayer vietoris
Ciao a tutti.
Sto cercando di usare Mayer vietoris per calcolare la coomologia di una manifold M dati 2 aperti U e V che la ricoprono e ho alcune domande.
1) nella sequenza esatta ho un applicazione iniziale
0 - > H0(M) SEMPRE? perché questa mi implica che la successiva è iniettiva. Io ho sempre assunto questo ma guardando bene nelle mie dispense non è specificato (e renderebbe tutto più difficile).
2) devo calcolare de rahm per il piano proiettivo P2 e ok.
Uso prima gli aperti A1(x1 diverso da 0), A2 (x2 diverso da 0)A3 (x3 diverso da 0). Questi sono diffeomorfi a R2 corretto?
Prima calcolo su A=A1 u A2 e mi escono H0(A) = R (isomorfi per intenderci) e mi escono anche H1(A) =R e H2 (A) =0.
Ma poi usando Mayer vietoris per P2=A u A3... Mi esce H1(P2) =R ma non mi quadra visivamente. Cosa sto sbagliando?
Sto cercando di usare Mayer vietoris per calcolare la coomologia di una manifold M dati 2 aperti U e V che la ricoprono e ho alcune domande.
1) nella sequenza esatta ho un applicazione iniziale
0 - > H0(M) SEMPRE? perché questa mi implica che la successiva è iniettiva. Io ho sempre assunto questo ma guardando bene nelle mie dispense non è specificato (e renderebbe tutto più difficile).
2) devo calcolare de rahm per il piano proiettivo P2 e ok.
Uso prima gli aperti A1(x1 diverso da 0), A2 (x2 diverso da 0)A3 (x3 diverso da 0). Questi sono diffeomorfi a R2 corretto?
Prima calcolo su A=A1 u A2 e mi escono H0(A) = R (isomorfi per intenderci) e mi escono anche H1(A) =R e H2 (A) =0.
Ma poi usando Mayer vietoris per P2=A u A3... Mi esce H1(P2) =R ma non mi quadra visivamente. Cosa sto sbagliando?
Risposte
1. \(H^0(X)\) è il gruppo libero su \(\pi_0(X)\); quindi, dato che c'è sempre almeno una componente connessa, \(H^0(X)=\mathbb Z^n\) per \(n\ge 1\). Se la domanda è "esiste sempre la mappa zero \(0\to G\) dentro un gruppo abeliano", la mia domanda per te è: lo sai, vero, cos'è un gruppo abeliano?
2. Sarebbe gran meglio se scrivessi la domanda come un cristiano: non si capisce niente a leggere A=A1 u A2, A2 (x2 diverso da 0)A3 (x3 diverso da 0), etc. Chi studia la successione di Mayer-Vietoris è grande abbastanza da scrivere due righe di TeX.
Ah, e si chiamava de Rham, non de rahm.
2. Sarebbe gran meglio se scrivessi la domanda come un cristiano: non si capisce niente a leggere A=A1 u A2, A2 (x2 diverso da 0)A3 (x3 diverso da 0), etc. Chi studia la successione di Mayer-Vietoris è grande abbastanza da scrivere due righe di TeX.
Ah, e si chiamava de Rham, non de rahm.
Scusami, ammetto che è pigrizia, mea culpa.
1. Non era quella la domanda, ma era se nella sequenza esatta la prima applicazione diversa da quella nulla (che manda 0, ad esempio, in H0(M), che ovviamente conosco e so che è il numero di componenti connesse) fosse effettivamente iniettiva (perché il suo ker sarebbe 0).
2. Si ho sbagliato a scrivere, è stata pigrizia. In tal caso faccio...
$A_1={x_1 \ne 0}$
$A_2={x_2 \ne 0}$
$A_3={x_3 \ne 0}$
(diffeomorfi a $\mathbb{R} ^2$?)
$A_1 u A_2= A$ (faccio Mayer vietoris e ottengo
$$H^0 (A) = \mathbb{R} \quad H^1(A) = \mathbb{R} \quad H^2 (A) = 0 $$ (giusto?)
$\mathbb{P} ^2 = A u A_3 $ e qui usando Mayer vietoris (senza specificare troppo, avendo fatto H0 e H2 mi esce $H^1(\mathbb{P} ^2) = \mathbb{R} $. È giusto?
Scusate il disturbo.
1. Non era quella la domanda, ma era se nella sequenza esatta la prima applicazione diversa da quella nulla (che manda 0, ad esempio, in H0(M), che ovviamente conosco e so che è il numero di componenti connesse) fosse effettivamente iniettiva (perché il suo ker sarebbe 0).
2. Si ho sbagliato a scrivere, è stata pigrizia. In tal caso faccio...
$A_1={x_1 \ne 0}$
$A_2={x_2 \ne 0}$
$A_3={x_3 \ne 0}$
(diffeomorfi a $\mathbb{R} ^2$?)
$A_1 u A_2= A$ (faccio Mayer vietoris e ottengo
$$H^0 (A) = \mathbb{R} \quad H^1(A) = \mathbb{R} \quad H^2 (A) = 0 $$ (giusto?)
$\mathbb{P} ^2 = A u A_3 $ e qui usando Mayer vietoris (senza specificare troppo, avendo fatto H0 e H2 mi esce $H^1(\mathbb{P} ^2) = \mathbb{R} $. È giusto?
Scusate il disturbo.
1. Sì, ma l'inizio della successione di MV (con due aperti) è \(0\to H^0(X)\overset{g}\to H^0(U)\oplus H^0(V) \to H^0(U\cap V)\to\dots\). Tu stai chiedendo se $g$ è sempre iniettiva; sì, perché la successione è esatta; e sì, se ragioni (come dovresti fare, sempre, quando fai un conto di algebra omologica) geometricamente. $g$ manda il generatore \([x]\in\pi_0(X)\) di \(H^0(X)\) in $(x,x)$ se \(x\in U\cap V\), e in \((0,x)\) o \((x,0)\) a seconda di dove stia $x$, se sta in uno solo degli aperti.
2. Non ho capito cosa stai cercando di fare; calcolare \(H_\text{dR}^2(X)\) con 3 aperti è fattibile, ma complicato in generale. \(\mathbb{RP}^2\) è una superficie, c'è un modo più semplice (e iperclassico) di trovarne la coomologia usando due aperti: \(U = \mathbb{RP}^2\setminus\mathbb{RP}^1\) e \(V = \mathbb{RP}^2\setminus\{p\}\) dove $p$ è il punto \([001]\).
Allora \( U \cup V = \mathbb{RP}^2 \) e \( U \cap V = U \setminus \{ p \} \). Chiaramente \( U \) è diffeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \), \( V \) si ritrae per deformazione a \( \mathbb{RP}^1 \) e \( U \cap V \) è diffeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \), che si ritrae per deformazione su \( S^1 \). Quindi \( H^k(U) \cong 0 \), \( H^k(V) \cong H^k(\mathbb{RP}^1) \) e \( H^k(U \cap V) \cong H^k(S^1) \) per ogni \( k > 0 \).
Utilizzando MV,\[
0 \to \dots \to H^1(\mathbb{RP}^2) \to H^1(\mathbb{RP}^1) \to H^1(S^1) \to H^2(\mathbb{RP}^2) \to 0
\]Poiché \( H^1(\mathbb{RP}^2) \cong 0 \), la s.e.s diventa \[
0 \to H^1(\mathbb{RP}^1) \to \mathbb{R} \to H^2(\mathbb{RP}^2) \to 0
\] che è una s.e.s. di spazi vettoriali, che quindi spezza; \(H^1(\mathbb{RP}^1)\cong\mathbb R\), e dunque deve essere \(H^2(\mathbb{RP}^2)=0\).
2. Non ho capito cosa stai cercando di fare; calcolare \(H_\text{dR}^2(X)\) con 3 aperti è fattibile, ma complicato in generale. \(\mathbb{RP}^2\) è una superficie, c'è un modo più semplice (e iperclassico) di trovarne la coomologia usando due aperti: \(U = \mathbb{RP}^2\setminus\mathbb{RP}^1\) e \(V = \mathbb{RP}^2\setminus\{p\}\) dove $p$ è il punto \([001]\).
Allora \( U \cup V = \mathbb{RP}^2 \) e \( U \cap V = U \setminus \{ p \} \). Chiaramente \( U \) è diffeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \), \( V \) si ritrae per deformazione a \( \mathbb{RP}^1 \) e \( U \cap V \) è diffeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \), che si ritrae per deformazione su \( S^1 \). Quindi \( H^k(U) \cong 0 \), \( H^k(V) \cong H^k(\mathbb{RP}^1) \) e \( H^k(U \cap V) \cong H^k(S^1) \) per ogni \( k > 0 \).
Utilizzando MV,\[
0 \to \dots \to H^1(\mathbb{RP}^2) \to H^1(\mathbb{RP}^1) \to H^1(S^1) \to H^2(\mathbb{RP}^2) \to 0
\]Poiché \( H^1(\mathbb{RP}^2) \cong 0 \), la s.e.s diventa \[
0 \to H^1(\mathbb{RP}^1) \to \mathbb{R} \to H^2(\mathbb{RP}^2) \to 0
\] che è una s.e.s. di spazi vettoriali, che quindi spezza; \(H^1(\mathbb{RP}^1)\cong\mathbb R\), e dunque deve essere \(H^2(\mathbb{RP}^2)=0\).
Grazie mille.
Ho capito dove ho sbagliato io (pur col mio metodo "stupido" dei 3 aperti)... Ed è stato grazie alla tua risposta di ragionare in modo geometrico... Io infatti avevo posto come applicazione nulla quella che andava da $H^1(A) \to H^1(\mathbb{P}^2)$ mentre questa applicazione ha semplicemente immagine nulla ma non è l applicazione nulla. Quindi tutto quadra.
Grazie mille. Buona giornata.
Ho capito dove ho sbagliato io (pur col mio metodo "stupido" dei 3 aperti)... Ed è stato grazie alla tua risposta di ragionare in modo geometrico... Io infatti avevo posto come applicazione nulla quella che andava da $H^1(A) \to H^1(\mathbb{P}^2)$ mentre questa applicazione ha semplicemente immagine nulla ma non è l applicazione nulla. Quindi tutto quadra.
Grazie mille. Buona giornata.
Nota che questo conto, adattato, dà la coomologia di de Rham degli spazi proiettivi reali di tutte le dimensioni (finite).
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