Matrici zero divisori:

[UchihaDragoon]

siano A e B matrici non nulle di ordine 4 tali che AB = 0(di R4) mi è stato kiesto di scegliere tra tre risposte quella falsa:
1) det(BA)=det(A) dove con det indico il determinante della matrice
2) BA=0 (dello sspazio vettoriale r4)
3) det(AC) = det(BC) = 0 per ogni matrice C di ordine 4

c'è qualcuno che mi può spiegare come si risolve questo quesito, perkè nel mio libro c'è scritto una sola riga sulle matrici zero divisori e non le capisco

[miuemia]

io direi che è 3... passa ai determinanti e studia un pò i casi... se $AB=0$ allora $det(A) det(B)=0$ ma poichè $RR$ è integro (grazie a dio )... allora o $det(A)=0$ oppure $det(B)=0$ oppure enbtrambi nulli... studia i casi e vedi

[UchihaDragoon]

cavolo scusa volevo chiedere quale era quella falsa.... ora modifico il post di prima

[dissonance]

Se $AB=0$ non è detto che $BA=0$ (strano eh?). Ragiona in termini di operatori lineri: $AB=0$ signiifca che l'operatore $phi_Acircphi_B$ annulla tutti i vettori di $RR^4$. Ovvero che l'immagine di $phi_B$ è contenuta nel nucleo di $phi_A$.
Ma in questo caso chi ti garantisce che l'immagine di $phi_A$ sia contenuta nel nucleo di $phi_B$ (ovvero $phi_Bcircphi_A=0$)?
Nessuno: e difatti se prendi $[[1,0],[0,0]], [[0,1],[0,0]]$ e le moltiplichi nei due modi possibili ti accorgi che in un caso ottieni zero e nell'altro no. (Questo esempio è con le matrici 2x2 ma si può estendere facilmente).

[UchihaDragoon]

dissonance se potessi darti un punto magia di gradimento te lo darei!!