Matrici simmetriche e antisimmetriche

[ladepie]

Come si ricava la dimensione del sottospazio delle matrici simmetriche e di quelle antisimmetriche?

[Steven11]

Specifica ad esempio la dimensione delle matrici.

[dissonance]

Mi pare che il risultato di Sergio sia giusto. Il trucco è pensare: di quanti parametri scalari ho bisogno per individuare univocamente una matrice simmetrica?

Per individuare una generica matrice me ne servono $n^2$, uno per ogni entrata.
Per la matrice simmetrica ne posso togliere alcuni, visto che una volta assegnata la diagonale principale e la sottodiagonale, la sopradiagonale è individuata completamente.
Per la matrice antisimmetrica me ne servono ancora meno, perché sulla diagonale principale ci sono necessariamente tutti $0$ (a meno di non trovarsi in ambiti algebrici curiosi, nei quali $1=-1$. Certamente quanto detto è vero per matrici razionali, reali e complesse).

A questo punto si fanno i conti (io non ne ho nessuna voglia ) e ci si ritrova con quanto detto da Sergio.

Infine ci si ricorda che la dimensione di uno spazio vettoriale (e quindi, di un sottospazio di uno spazio vettoriale assegnato) coincide con il numero di parametri scalari necessari ad individuare univocamente ogni vettore (o, come direbbe un fisico, al numero di gradi di libertà).

[dissonance]

"Sergio":E che sei più pigro perfino di me?

Molto probabile! E poi, la mia politica ha avuto successo: infatti alla fine i conti li hai fatti tu. Una situazione classica da TdG, direi.