Matrici Similli
Se mi chiedono: date A e B, dire se sono simili e scrivere la matrice di passaggio, come procedo?
La prima cosa che ho pensato e': calcolo gli autovalori e vedo se sono diagonalizzabili. Se hanno gli stessi autovalori e sono entrambe diagonalizzabili (oppure una e' diagonalizzabile mentre l'altra no, oppure sono entrambe diagonalizzabili ma gli autovalori sono diversi), il problema e' presto risolto.
Poniamo pero' che nessuna delle due due sia diagonalizzabile. Come procedo per risolvere l'esercizio?
La prima cosa che ho pensato e': calcolo gli autovalori e vedo se sono diagonalizzabili. Se hanno gli stessi autovalori e sono entrambe diagonalizzabili (oppure una e' diagonalizzabile mentre l'altra no, oppure sono entrambe diagonalizzabili ma gli autovalori sono diversi), il problema e' presto risolto.
Poniamo pero' che nessuna delle due due sia diagonalizzabile. Come procedo per risolvere l'esercizio?
Risposte
Se nessuna delle due matrici è diagonalizzabile allora bisogna vedere direttamente se esiste una matrice P non singolare (dello stesso ordine di A e di B ) tale che :
AP = PB .
Se tale matrice esiste, A e B sono simili ( infatti essendo P non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ )altrimenti non sono simili.
Riassumo considerazioni generali per decidere se A e B sono simili oppure no:
-calcolare det A e det B , se $det A ne det B$ le matrici Ae B non sono simili, altrimenti
-calcolare i polinomi caratteristici di A e B se sono diversi le matrici A e B non sono simili, altrimenti
- decidere se A e B sono diagonalizzabili :
* se A e B sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro,
* se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no, le due matrici A e B non sono simili
* se A e B non sono diagonalizzabili vedi sopra.
AP = PB .
Se tale matrice esiste, A e B sono simili ( infatti essendo P non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ )altrimenti non sono simili.
Riassumo considerazioni generali per decidere se A e B sono simili oppure no:
-calcolare det A e det B , se $det A ne det B$ le matrici Ae B non sono simili, altrimenti
-calcolare i polinomi caratteristici di A e B se sono diversi le matrici A e B non sono simili, altrimenti
- decidere se A e B sono diagonalizzabili :
* se A e B sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro,
* se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no, le due matrici A e B non sono simili
* se A e B non sono diagonalizzabili vedi sopra.
vorrei far notare che è possibile trovare matrici con lo steso determinante ma che non sono simili.
quindi la condizione data da camillo è sbagliata.
quindi la condizione data da camillo è sbagliata.
"miuemia":
vorrei far notare che è possibile trovare matrici con lo steso determinante ma che non sono simili.
quindi la condizione data da camillo è sbagliata.
povero Camillo...
lui NON ha detto che matrici con lo stesso determinante sono simili
Ha detto che se NON hanno lo stesso determinante NON sono simili
tra l'altro, a lume di naso, pensare che con un solo numeretto (il det) si possa garantire che 2 matrici 1000x1000 siano simili non convince molto
e Camillo mi pare un tipo ragionevole
hai ragione fioravante. allora scusa camillo. 
"miuemia":
hai ragione fioravante. allora scusa camillo.
Bisogna sempre leggere con attenzione quello che viene scritto ...
beh... non vorrei sbagliarmi, ma mi pare che due matrici siano simili sse possiedono la medesima forma normale di Jordan, la quale è completamente determinata dalle dimensioni di certi particolari autospazi. Controlla!
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