Matrici simili diagonalizzabili

[Shika93]

Date due matrici $A, B\in M_\RR(n)$, se esiste $M\in GL(n,\RR)$ tale che $B=M^-1AM$, se B è diagonale, A è diagonale?

Si, vero? Se ho due matrici che so essere simili, so per certo che hanno lo stesso polinomio caratteristico (condizione necessaria ma non sufficiente per la similitudine) e sicuramente sono diagonalizzabili, no?
Di solito quando mi si chiede se due matrici sono simili, dopo aver visto che hanno lo stesso polinomio caratteristico, mi cerco gli autospazi e vedo se la somma delle dimensioni degli autospazi sia uguale ad n.

[Magma1]

Ciao

Allora,

$f: V->V$ endomorfismo

Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ha almeno una base costituita da autovettori relativi a $f$.

Quindi

$f: V->V$

$f$ è diagonalizzabile $hArr EE mathcal (A)={v_1, ..., v_n} \text{ base di autovettori di V rispetto a f}$


$hArr AAi EE lambda_i in RR \text{ tale che } f(v_i)=lambda_i v_i$


$hArr M_(A A)(f)=( ( lambda_1 , 0 , 0 ),( 0 , ddots , 0 ),( 0 , 0 , lambda_n ) )$

in sintesi

$f: V->V$ endomorfismo

$f$ è diagonalizzabile $hArr EE mathcal (A) \text{ base di V (fatta da autovettori) tale che } M_(A A)(f) \text{ è diagonale}$

E si può dimostrare che

$A$ è simile a $D \text{ diagonale} hArr f$ è diagonalizzabile[nota]La diagonalizzabilittà dipende dalla funzione: infatti $A, B in M_n (RR) $ sono simili $hArr$ sono rappresentative dello stesso endomorfismo.[/nota]

"Shika93":Date due matrici $ A, B\in M_\RR(n) $, se esiste $ M\in GL(n,\RR) $ tale che $ B=M^-1AM $, se B è diagonale, A è diagonale?

Puoi dire che, essendo $A$ simile a una matrice $B$ diagonale, allora $A$ è diagonalizzabile [nota]Se si vuol essere pignoli è l'applicazione, di cui sono rappresentative le due matrici, ad essere daigonalizzabile (e per metonimia anche $A$ è diagonalizzabile ).[/nota].

[Shika93]

Grazie mille