Matrici simili / autovettori (teoria)

[jitter1]

Ciao, piacere di conoscervi...
non riesco a risolvere alcuni dubbi che forse mi aiutano a capire una dimostrazione oscura... ma quella un'altra sera

Da Sernesi, Geometria I:
1) p. 169: "Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico": anche viceversa? Se due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico sono simili?
2) Se queste due matrici hanno, quindi, gli stessi autovalori, hanno anche gli stessi relativi autovettori? Speriamo di sì... sarà "sì"? Ma è difficile più ancora da intuire che da dimostrare... Pensavo: sì, perché la def. di autovettore non dipende dalla base...? Ma non son mica convinta... e poi non riesco a dimostrarlo. Ho provato a vedere cosa succede applicando la def. a uno stesso autovettore scritto in una base e poi in un'altra, ma a un certo punto m'impiccio coi calcoli. Insomma, alla quattrocentesima bic... potete aiutarmi?

Grazie!
'notte

[dissonance]

1) No. Non è così facile. Prendi per esempio $((0,0), (0,0))$, $((0,1),(0,0))$.

2) Qui ci sei quasi. Ti conviene ragionare in termini intrinseci, prima di metterti a fare calcoli: se due matrici sono simili, vuol dire che sono due rappresentazioni diverse della stessa applicazione lineare. E quindi, a meno di cambiamenti di rappresentazione, pure gli autovettori sono gli stessi.

Concretamente, siano $A$ e $B$ le due matrici. Siccome sono simili esiste una matrice invertibile $P$ tale che $A=P^{-1}BP$. L'equazione agli autovalori di $A$ è

$Ax=\lambda x$

ovvero

$BPx=\lambda Px$

quindi, ponendo $y=Px$,

$By=\lambda y$.

Questo ci dice che le equazioni agli autovalori di $A$ e di $B$ sono essenzialmente le stesse a meno di un cambiamento di coordinate $y=Px$. In particolare gli autovalori sono gli stessi, e ad ogni autovettore $x$ di $A$ corrisponde un autovettore $y=Px$ di $B$, e viceversa.

[jitter1]

Grazie mille Dissonance, ho capito!