Matrici simili al variare di $h$

[mazzy89-votailprof]

ho questo esercizio ma non capisco esattamente come risolverlo o meglio ho un'idea ma non so se sia giusta.
siano date le matrici $A=((2,1),(1,1))$ e $B=((1,h),(1,1))$ con $h in RR$

stabilire al variare di $h$ se la matrice $AB$ è simile alla matrice $BA$ e, in caso affermativo, determinare una matrice invertibile $P$ tale che $PABP^(-1)=BA$

la mia idea per risolvere il seguente esercizio sarebbe quella di diagonalizzarmi la matrice $AB$ e $BA$ e vedere per quali valori di $h$ comuni le due matrici sono diagonalizzabili.giusto?

[vict85]

Secondo me ti conviene calcolare \(AB\), \(BA\) e \(PABP^{-1}\) per una qualsiasi \(P\) (invertibile) e quindi trovare le condizioni per cui si ha \(BA = PABP^{-1}\).

[ciampax]

Non è più veloce con gli autovalori? Se sono diversi, le due matrici non possono essere simili. Una volta fatto questo hai determinato i valori di $h$ che vanno bene e a quel punto basta vedere per quali matrici generiche $P$ si abbia l'uguaglianza [tex]$PAB=BAP$[/tex]

[vict85]

"ciampax":Non è più veloce con gli autovalori? Se sono diversi, le due matrici non possono essere simili. Una volta fatto questo hai determinato i valori di $h$ che vanno bene e a quel punto basta vedere per quali matrici generiche $P$ si abbia l'uguaglianza [tex]$PAB=BAP$[/tex]

Forse hai ragione.

[mazzy89-votailprof]

ho controllato ed ho visto per sono simili per ogni $h in RR$.spero di aver detto giusto.ora invece devo considerare la matrice generica $P=((x,y),(z,t))$ ed imporre l'uguaglianza $PAB=BAP$. giusto?

[ciampax]

I polinomi caratteristici delle matrici $AB,\ BA$ sono uguali, quindi effettivamente le due risultano avere sempre gli stessi autovalori. Tuttavia, quando puoi calcolarli questi autovalori? La matrice è reale, quindi gli autovalori devono essere tali.

per il resto, procedi come hai scritto.