Matrici simili

[pitty*1]

salve a tutti
avrei bisogno di sapere quali sono le condizioni necessarie e sufficienti perchè 2 matrici siano simili, a parte la definizione solita "due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile tale che A=M^(-1)BM". Grazie

[maurer]

Su che campo?
Se è algebricamente chiuso è necessario e sufficiente che abbiano stessa forma canonica di Jordan. Altrimenti proprio non saprei.

[angus89]

Condizioni necessarie e sufficienti...chiedi tanto...

Una condizione necessaria e sufficiente è che abbiamo la stessa forma di Jordan.

In $RR^2$ dovrebbe bastare che abbiano stessa traccia e stesso determinante (non ne sono sicurissimo)

[maurer]

"angus89":
Una condizione necessaria e sufficiente è che abbiamo la stessa forma di Jordan.

A patto che ce l'abbiano. Quindi bisogna mettersi su un campo algebricamente chiuso.

"angus89":In $RR^2$ dovrebbe bastare che abbiano stessa traccia e stesso determinante (non ne sono sicurissimo)

Infatti è falso.
[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
hanno stessa traccia e stesso determinante, ma non sono simili.

[pitty*1]

ma non saprei perchè qui non è specificato. Pensavo di trovarmi in R^n invece evidentemente si dava per scontato che fossi in C^n. Comunque pensavo che le condizioni fossero: stessi rango, determinante, traccia e poi anche polinomio caratteristico e polinomio minimo, ma appunto non so se sono necessarie, sufficienti o nessuna delle due

[maurer]

Il mio controesempio mostra che avere lo stesso polinomio caratteristico non è sufficiente ad essere simili, anche se naturalmente è una condizione necessaria.
Peraltro si può facilmente generalizzare a dimensione [tex]n[/tex].

Nota: dire che due matrici hanno stesso polinomio caratteristico, implica, in particolare, che abbiano uguali traccia e determinante.

[dissonance]

Mi pare però che avere stesso polinomio caratteristico e anche minimo sia sufficiente alla similitudine quando la dimensione è piccola. Per $n=2$ è sicuro. Forse anche per $n=3$? Sono tutte cose che si dimostrano ricordandosi come funziona la forma canonica di Jordan, cosa che io non mi ricordo più.

[pitty*1]

ok grazie!