Matrici simili
Date le seguenti matrici:
$A=( ( 1 , a , 0 ),( a , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) B=( ( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) C=( ( 3 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ) )$
a) si dica se B ~ C
b) si dica se esistono valori del parametro a per cui A ~ B. In caso affermativo si determini, in corrispondenza ad uno di essi, una matrice H invertibile tale che $H^(-1)AH=B$
Al punto a) ho trovato che B e C non sono simili in quanto hanno lo stesso polinomio caratteristico, ma C non è diagonalizzabile, a differenza di B.
Al punto b) A è simile a B per $a=pm 2$, ma non ho la minima idea di come trovare la matrice H. So solo che esiste per il fatto che sono simili, ma l'esistenza della matrice invertibile l'ho sempre usata per definire la similitudine di matrici, e non sono mai stato lì a calcolarla (la calcolavo solo nel caso si chiedesse la matrice che diagonalizza, avendo già pronti gli autospazi). Se qualcuno può spiegarmi un procedimento per arrivare alla matrice H gliene sarei molto grato.
$A=( ( 1 , a , 0 ),( a , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) B=( ( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) C=( ( 3 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ) )$
a) si dica se B ~ C
b) si dica se esistono valori del parametro a per cui A ~ B. In caso affermativo si determini, in corrispondenza ad uno di essi, una matrice H invertibile tale che $H^(-1)AH=B$
Al punto a) ho trovato che B e C non sono simili in quanto hanno lo stesso polinomio caratteristico, ma C non è diagonalizzabile, a differenza di B.
Al punto b) A è simile a B per $a=pm 2$, ma non ho la minima idea di come trovare la matrice H. So solo che esiste per il fatto che sono simili, ma l'esistenza della matrice invertibile l'ho sempre usata per definire la similitudine di matrici, e non sono mai stato lì a calcolarla (la calcolavo solo nel caso si chiedesse la matrice che diagonalizza, avendo già pronti gli autospazi). Se qualcuno può spiegarmi un procedimento per arrivare alla matrice H gliene sarei molto grato.
Risposte
Sai che $B$ è diagonalizzabile, quindi sai trovare una matrice $P$ tale che
(1) $B=P^{-1}DP$
con $D$ matrice diagonale.
Essendo $A$ simile a $B$, anche $A$ sarà simile alla stessa matrice diagonale $D$ e sai trovare una matrice $M$ tale che
(2) $A=M^{-1}DM$
Dalla (1) e dalla (2) si ricava che
$PBP^{-1}=D$
$MAM^{-1}=D$
Uguagliando, ottieni $PBP^{-1}=MAM^{-1}$ da cui ricavi che $B=P^{-1}MAM^{-1}P=(MP^{-1})^{-1}A(MP^{-1})$.
Quindi la matrice che cerchi sarà
$H=MP^{-1}$
dove $M$ e $P$ le hai determinate prima.
(1) $B=P^{-1}DP$
con $D$ matrice diagonale.
Essendo $A$ simile a $B$, anche $A$ sarà simile alla stessa matrice diagonale $D$ e sai trovare una matrice $M$ tale che
(2) $A=M^{-1}DM$
Dalla (1) e dalla (2) si ricava che
$PBP^{-1}=D$
$MAM^{-1}=D$
Uguagliando, ottieni $PBP^{-1}=MAM^{-1}$ da cui ricavi che $B=P^{-1}MAM^{-1}P=(MP^{-1})^{-1}A(MP^{-1})$.
Quindi la matrice che cerchi sarà
$H=MP^{-1}$
dove $M$ e $P$ le hai determinate prima.
aaaa, lo sapevo che c'entrava in qualche modo la diagonalizzabilità!!!! 
Ok ok, quindi mi calcolo $M$ e $P$ (sulle colonne stanno basi dei rispettivi autospazi ecc ecc) e poi $H$ ce l'ho bella e pronta.... l'unica difficoltà potrebbe nascondersi nel calcolare $P^(-1)$, metodo che richiede il suo tempo.
In ogni caso grazie infinite, i tuoi consigli sono precisi e utilissimi come al solito.
Ok ok, quindi mi calcolo $M$ e $P$ (sulle colonne stanno basi dei rispettivi autospazi ecc ecc) e poi $H$ ce l'ho bella e pronta.... l'unica difficoltà potrebbe nascondersi nel calcolare $P^(-1)$, metodo che richiede il suo tempo.
In ogni caso grazie infinite, i tuoi consigli sono precisi e utilissimi come al solito.
"Legico":E infatti io non mi metto a fare conti, lascio a te la parte più "divertente"
.... l'unica difficoltà potrebbe nascondersi nel calcolare $P^(-1)$, metodo che richiede il suo tempo.
"Legico":Prego
In ogni caso grazie infinite, i tuoi consigli sono precisi e utilissimi come al solito.
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