Matrici simili

[thedarkhero]

Due matrici $A$ e $B$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $P$ tale che $B=PAP^(-1)$.
La simiglianza tra matrici e' una relazione di equivalenza. Come posso studiare le classi di equivalenza?

Due matrici simili possono essere viste come matrici di endomorfismi, essendo quadrate.
Le matrici $P$ e $P^(-1)$ possono essere interpretate come matrici di cambiamento di base, rispettivamente dalla base $v_1$ alla base $v_2$ e dalla base $v_2$ alla base $v_1$.
Allora due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare nelle basi $v_1$ e $v_2$ rispettivamente (sia in partenza che in arrivo).
Giusto?
Se si chi posso scegliere come rappresentante di ogni classe di equivalenza?

[fu^2]

In che senso come puoi studiare le classi di equivalenza?

Alla seconda domanda: te come rappresentanti puoi scegliere chi vuoi, dipende che ci devi fare con ste classi (un rappresentante è un elemento scelto della classe di equivalenza).

[thedarkhero]

Si ho presente cosa sono i rappresentanti. Ad esempio nella relazione di equivalenza tra matrici si puo' scegliere come rappresentante di ogni classe la matrice unitaria di rango r. Quindi ogni matrice di rango r e' equivalente alla unitaria di rango r.
Invece per la relazione di similitudine mi chiedevo chi sono i rappresentanti naturali.