Matrici simili
Ragazzi mi aiutate con questo esercizio? Il numero 4 https://drive.google.com/file/d/0B9w8qY ... NUTU0/view
Devo indicare quale fra queste quattro matrici sono simili tra loro.
Allora due matrici sono simili quando hanno stesso rango e stesso polinomio caratteristico.
Dunque tutte e quattro le matrici hanno rango 2. Vado a vedere il loro polinomio caratteristico.
(L= lambda)
L^2 - 6L +9 prima, terza e quarta
L^2 -6L -3 seconda matrice
quindi scarto la seconda matrice.
Allora a questo punto vedo che L=3 ha molteplicità algebrica = 2
Nella prima e terza matrice la molteplicità geometrica è 1 e quindi entrambe non possono essere simili a una matrice diagonale, quindi scarto la quarta.
Poi mi calcolo l'autospazio V3. E mi viene fuori un solo autovettore.
Come faccio a costruirmi la matrice P invertibile che mi rende possibile la similitudine?
Devo indicare quale fra queste quattro matrici sono simili tra loro.
Allora due matrici sono simili quando hanno stesso rango e stesso polinomio caratteristico.
Dunque tutte e quattro le matrici hanno rango 2. Vado a vedere il loro polinomio caratteristico.
(L= lambda)
L^2 - 6L +9 prima, terza e quarta
L^2 -6L -3 seconda matrice
quindi scarto la seconda matrice.
Allora a questo punto vedo che L=3 ha molteplicità algebrica = 2
Nella prima e terza matrice la molteplicità geometrica è 1 e quindi entrambe non possono essere simili a una matrice diagonale, quindi scarto la quarta.
Poi mi calcolo l'autospazio V3. E mi viene fuori un solo autovettore.
Come faccio a costruirmi la matrice P invertibile che mi rende possibile la similitudine?
Risposte
Devo fare il completamento della base utilizzando la forma di Jordan ma io questa cosa al corso non l'ho fatta. Non c'è un altro modo?
"fede.991":
Allora due matrici sono simili quando hanno stesso rango e stesso polinomio caratteristico.
Una piccola precisazione: il fatto, che matrici simili abbiano in comune stesso rango e polinomio caratteristico, è una una condizione necessaria, ma non sufficiente.
Allora, cerchiamo il polinomio caratteristico
$A$: $det((4-lambda,-1),(1,2-lambda))=...=(3-lambda)^2$
$C$: $det((3-lambda,0),(1,3-lambda))=...=(3-lambda)^2$
$D$: $det((3-lambda,0),(0,3-lambda))=...=(3-lambda)^2$
E osserviamo che $lambda=3$ e che $Alg(3)=2$, e dobbiamo verificare la molteplicità geometrica di ognuna, e facciamolo:
$g(lambda)=dim(Ker(f_lambda))=dim(V)-r(M_(A, A)(f_lambda))$, $mathcal (A)=$base qualsiasi di V
$A$: $g(3)=2-r((1,-1),(1,-1))=2-1=1ne2=Alg(3)$
$C$: $g(3)=2-r((0,0),(1,0))=2-1=1ne2=Alg(3)$
$D$: $g(3)=2-r((0,0),(0,0))=2-0=2=Alg(3)$ (questo era un caso ovvio!)
Bene, possiamo concludere che le matrici non sono simili tra di loro.
Ma non è nemmeno sbagliato dire che ognuna è simile a sé stessa, infatti $A=IAI$, con $A in M_n (RR)$, $I=$matrice identità.
"fede.991":
Devo fare il completamento della base utilizzando la forma di Jordan
Cioè?
No allora. Rimangio quello che ho detto. Qualcosa mi dice che proprio le matrici che ho scartato sono simili tra loro ma non capisco come dimostrarlo. La matrice b è diagonalizzabile e i suoi autovalori sono 1 e 5. Vado a trovare gli autospazi V1 E V5 e trovo che gli autovettori relativi sono rispettivamente
1 3
-1 1
A questo punto questi sono la base di autovettori.
La matrice P è proprio
1 3
-1 1
la sua inversa è
1 -3
1 1
Ora andando a fare p^-1 x B x P non viene però la matrice D!
Aiuto!
1 3
-1 1
A questo punto questi sono la base di autovettori.
La matrice P è proprio
1 3
-1 1
la sua inversa è
1 -3
1 1
Ora andando a fare p^-1 x B x P non viene però la matrice D!
Aiuto!
"fede.991":
No allora. Rimangio quello che ho detto.
Qualcosa mi dice che proprio le matrici che ho scartato sono simili tra loro ma non capisco come dimostrarlo.
"fede.991":
Due matrici (potrebbero) essere simili se hanno stesso rango e stesso polinomio caratteristico.
Aspetta! Due matrici che non hanno lo stesso polinomio caratteristico, non possono essere simili[nota]Due matrici sono simili se e solo sono rappresentative dello stesso endomorfismo.[/nota]. Il fatto che $B$ sia diagonalizzabile, e ammetta degli autovettori, non implica che debba essere necessariamente simile alla matrice diagonale $D$ data[nota]$B$ è simile ad un'altra matrice diagonale, $M_(B, B)(f)=((1,0),(0,5))$, $mathcal (B)={((1),(-1)), ((3),(1))}=$ base di autovettori.[/nota].
Infatti così non è proprio perché non hanno stesso polinomio caratteristico, cioè non hanno gli stessi autovalori.
Non capisco come ottieni
1 0
0 5
perché facendo i calcoli non mi viene.
Io avevo trovato che l'autovettore di 1 era
-1
1
è la stessa cosa?
Poi se una matrice non è diagonalizzabile perché ad esempio un autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica diverse può essere simile ad una matrice non diagonale?
1 0
0 5
perché facendo i calcoli non mi viene.
Io avevo trovato che l'autovettore di 1 era
-1
1
è la stessa cosa?
Poi se una matrice non è diagonalizzabile perché ad esempio un autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica diverse può essere simile ad una matrice non diagonale?
[/quote]
Aspetta! Due matrici che non hanno lo stesso polinomio caratteristico, non possono essere simil[/quote]
No credo sia sbagliata questa cosa. Se non hanno stesso polinomio caratteristico potrebbero essere simili
Il mio professore ha fatto un esercizio in cui ha dimostrato che due matrici sono simili, ma queste hanno polinomio caratteristico diverso
Aspetta! Due matrici che non hanno lo stesso polinomio caratteristico, non possono essere simil[/quote]
No credo sia sbagliata questa cosa. Se non hanno stesso polinomio caratteristico potrebbero essere simili
Il mio professore ha fatto un esercizio in cui ha dimostrato che due matrici sono simili, ma queste hanno polinomio caratteristico diverso
"fede.991":
Non capisco come ottieni
1 0
0 5
perché facendo i calcoli non mi viene.
Io avevo trovato che l'autovettore di 1 era
-1
1
Allora, piccola osservazione:
Sia $f: V->V$ endomorfismo,
f è diagonalizzabile $hArr EE mathcal (A)={v_1, ..., v_n}=$base di autovettori di V rispetto a f
$hArr AAi EElambda_i in RR$ tale che $f(v_i)=lambda_iv_i$
cioè
$f(v_1)=lambda_1v_1+0v_2+...+0v_n$
.
.
.
$f(v_n)=0v_1+0v_2...+lambda_nv_n$
pertanto $M_(A, A)(f)=( ( lambda_1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , . ,0 , 0 ),( 0 , 0 , . , 0 ),( 0 , 0 , 0 , lamda_n ) ) $
$hArr AAi EElambda_i in RR$ tale che $f(v_i)=lambda_iv_i$
cioè
$f(v_1)=lambda_1v_1+0v_2+...+0v_n$
.
.
.
$f(v_n)=0v_1+0v_2...+lambda_nv_n$
pertanto $M_(A, A)(f)=( ( lambda_1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , . ,0 , 0 ),( 0 , 0 , . , 0 ),( 0 , 0 , 0 , lamda_n ) ) $
Cioè, una matrice rappresentativa per f rispetto ad una base di autovettori è una matrice diagonale, sulla quale appaiono precisamente gli autovalori dei rispettivi autovettori[nota]Ricorda che una base è un insieme ordinato.[/nota].
"fede.991":
Poi se una matrice non è diagonalizzabile, perché ad esempio un autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica diverse, può essere simile ad una matrice non diagonale?
In che senso??
Due matrici sono simili se sono rappresentative dello stesso endomorfismo; inoltre, se una matrice è diagonalizzabile, allora è simile a una matrice diagonale.
"fede.991":
[quote="Magma"]
Aspetta! Due matrici che non hanno lo stesso polinomio caratteristico, non possono essere simil
No credo sia sbagliata questa cosa. Se non hanno stesso polinomio caratteristico potrebbero essere simili
[/quote]
Credo ti stia sbagliando
Come ho detto precedentemente:
due matrici sono simili se sono rappresentative di uno stesso endomorfismo;
matrici rappresentative di uno stesso endomorfismo hanno stesso polinomio caratteristico;
allora matrici simili hanno stesso polinomio caratteristico.
matrici rappresentative di uno stesso endomorfismo hanno stesso polinomio caratteristico;
allora matrici simili hanno stesso polinomio caratteristico.
P.S. Sarei curioso di vedere l'esempio di matrici simili ma con polinomio caratteristico diverso
Allora l'esercizio del professore era
1 0 1
2 1 2
3 0 3
0 0 0
0 1 0
0 0 4
Sono simili tra loro ma non hanno stesso polinomio caratteristico.
Comunque ti chiedevo, se una matrice non è diagonalizzabile allora non è simile ad una matrice diagonale, ma può essere simile ad un'altra matrice non diagonalizzabile?
1 0 1
2 1 2
3 0 3
0 0 0
0 1 0
0 0 4
Sono simili tra loro ma non hanno stesso polinomio caratteristico.
Comunque ti chiedevo, se una matrice non è diagonalizzabile allora non è simile ad una matrice diagonale, ma può essere simile ad un'altra matrice non diagonalizzabile?
Rimane comunque irrisolto l'esercizio. Sembra banale ma non se ne viene a capo.
La seconda matrice che è diagonalizzabile non risulta essere simile alla quarta matrice che è l'unica diagonale.
Rimangono allora la prima e terza matrice che non sono diagonalizzabili entrambe e io mi sto chiedendo se possono essere simili tra loro.
La seconda matrice che è diagonalizzabile non risulta essere simile alla quarta matrice che è l'unica diagonale.
Rimangono allora la prima e terza matrice che non sono diagonalizzabili entrambe e io mi sto chiedendo se possono essere simili tra loro.
Ah no oddio hai ragione! hanno stesso polinomio caratteristico! che macello!
"fede.991":
Allora l'esercizio del professore era
$((1, 0, 1),(2, 1, 2),(3, 0, 3))$, $((0, 0 ,0),(0, 1, 0),(0, 0, 4))$
Sono simili tra loro ma non hanno stesso polinomio caratteristico.
[...]
Ah no oddio hai ragione! hanno stesso polinomio caratteristico! che macello!
"fede.991":
Comunque ti chiedevo, se una matrice non è diagonalizzabile allora non è simile ad una matrice diagonale, ma può essere simile ad un'altra matrice non diagonalizzabile?
Certo: matrici simili sono rappresentative dello stesso endomorfismo; però esistono infinite matrici [nota]Al variare delle basi.[/nota], diagonali e non, rappresentative dello stesso endomorfismo, e tutte queste sono simili tra loro.
"fede.991":
Rimane comunque irrisolto l'esercizio. Sembra banale ma non se ne viene a capo.
La seconda matrice che è diagonalizzabile non risulta essere simile alla quarta matrice che è l'unica diagonale.
Rimangono allora la prima e terza matrice che non sono diagonalizzabili entrambe e io mi sto chiedendo se possono essere simili tra loro.
$B$ la scarti perché ha un polinomio caratteristico distinto. Mi chiedi se $A= ((4,-1),(1,2))$ e $ C=((3,0),(1,3-))$, possono essere simili tra loro?
Abbiamo visto che hanno stesso rango, stesso polinomio e stessi autovalori; però, in entrambe le matrici, otteniamo che $Alg(3)=2ne1=g(3)$, quindi non sono diagonalizzibili, cioè non possono essere simili a una matrice diagonale.
Invece avrebbero potuto essere simili ad una matrice diagonale, se entrambe potevano essere diagonalizzate in una stessa matrice diagonale: infatti, ad esempio,
se $A$ è simile a $C$, $B$ è simile a $C$, allora $A$ è simile a $B$.
$A, B$ matrici diagonalizzabili, $C$ matrice diagonale.
$A, B$ matrici diagonalizzabili, $C$ matrice diagonale.
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