Matrici simili

[GiammarcoPavan]

Ciao a tutti

A lezione abbiamo da poco definito le nozioni di autovettore, autovalore, eccetera eccetera, fino ad arrivare alla definizione di matrice diagonalizzabile e ai teoremi e proposizioni associate. Tra gli esercizi a riguardo non mi è totalmente chiaro un procedimento per arrivare a definire se due matrici sono simili o meno (premetto che non ho fatto Jordan e che tali esercizi vengono proposti nel libro prima di Jordan, sempre se questo possa servire). Quel che so, correggetemi se sbaglio, è che due matrici simili hanno:

(i) medesimo determinante
(ii) medesimo polinomio caratteristico
(iii) medesima traccia
(iv) medesimi autovalori

Chiaramente queste proprietà nel caso vengano verificate per due matrici qualsiasi non implicano la similitudine (condizione necessaria ma non sufficiente). Quindi, per dimostrare che due matrici NON sono simili mi basta andare a verificare che uno di tali punti non è verificato, ma per verificare che sono simili devo rifarmi alla definizione di matrice simile considerando una matrice generica (il solito procedimento che viene insegnato agli inizi dell'algebra), o c'è una scorciatoia che non si "allontani" dagli ultimi argomenti trattati?

Grazie mille

[vlander]

Ovviamente se le matrici sono simili o sono entrambe diagonalizzabili o non lo è nessuna delle due.
Se lo sono entrambe basta che tiri fuori i loro autovalori e molteplicità, se sono tutte uguali allora le due matrici sono simili alla stessa matrice diagonale quindi sono simili tra di loro(la similitudine è una relazione di equivalenza).
Se sono entrambe non diagonalizzabili devi vedere la forma canonica di Jordan o qualcos'altro.

[GiammarcoPavan]

"vlander":
Se lo sono entrambe basta che tiri fuori i loro autovalori e molteplicità, se sono tutte uguali allora le due matrici sono simili alla stessa matrice diagonale quindi sono simili tra di loro(la similitudine è una relazione di equivalenza).

Autovalori e molteplicità uguali implicano uguali autospazi?

[vlander]

"GiammarcoP":
Autovalori e molteplicità uguali implicano uguali autospazi?

No. Prova a scrivere autovalori e autospazi delle matrici

$$\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$

Dovresti trovare che entrambe hanno autovalori $0$ e $-1$ con molteplicità (algebriche = geometriche) rispettivamente $1$ e $2$ ma autospazi diversi. Il punto è che essendo diagonalizzabili sono entrambe simili alla matrice

$$\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$

quindi sono simili tra di loro.

[GiammarcoPavan]

Quindi quando mi hai detto "se le due matrici hanno uguali autovalori e molteplicità sono simili", è perché esse sono entrambe simili alla matrice diagonale contenente sulla diagonale proprio tali auto valori?

[vlander]

"vlander":allora le due matrici sono simili alla stessa matrice diagonale quindi sono simili tra di loro

Sì.