Matrici simili
Vorrei chiedervi se sono corrette le seguenti implicazioni:
1) A e B hanno lo stesso polinomio minimo se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan (a meno di riordinamenti).
2) A e B sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio minimo.
Grazie in anticipo...
1) A e B hanno lo stesso polinomio minimo se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan (a meno di riordinamenti).
2) A e B sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio minimo.
Grazie in anticipo...
Risposte
Nessuno può rispondere...?
1-2)No$((1,1),(0,1))$ e $((1,0),(0,1))$
Non capisco il perché di quelle matrici... non mi aiutano in nessuno dei due casi (non hanno né stesso polinomio minimo né stessa forma di Jordan...)
Ho letto caratteristico, allora minimo hai queste due matrici:
$((1,0),(0,1))$, $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$((1,0),(0,1))$, $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Non l'ho specificato ma le due matrici devono avere lo stesso numero di righe (colonne)... (Altrimenti il punto due non avrebbe senso)
Avrebbe senso in un verso.. Comunque sì, se esprimi l'obbligo della stessa dimensione, sono vere..
Invece, sono false. Entrambe.
Basta considerare matrici diagonali $n\times n$ diverse da $\pm id$
con coefficienti $\pm 1$ sulla diagonale. I polinomi minimi sono
sempre $X^2-1$. Pero', sono simili se e solo se hanno la stessa forma
di Jordan se e solo se hanno lo stesso numero di coefficienti uguali
a $-1$ (e quindi anche lo stesso numero di coefficienti uguali a $+1$).
Basta considerare matrici diagonali $n\times n$ diverse da $\pm id$
con coefficienti $\pm 1$ sulla diagonale. I polinomi minimi sono
sempre $X^2-1$. Pero', sono simili se e solo se hanno la stessa forma
di Jordan se e solo se hanno lo stesso numero di coefficienti uguali
a $-1$ (e quindi anche lo stesso numero di coefficienti uguali a $+1$).
Se il numero di +1 e/o -1 fossero diversi (e non ci sono altri valori come in questo caso visto che le soluzioni del polinomio minimo sono solo -1 e +1) avrebbero traccia diversa e quindi è ovvio che non sono simili (e non hanno stessa forma di Jordan)...
Si, e' ovvio. Ma hanno lo stesso polinomio minimo.
Allora è vero che due matrici sono simili se e solo se hanno stessa forma di Jordan...?
Secondo me se sostituisci minimo con minimo e caratteristico diventano vere entrambe 
"Pierlu11":
Allora è vero che due matrici sono simili se e solo se hanno stessa forma di Jordan...?
http://www.mat.uniroma2.it/~digennar/Jordan.pdf
@Pierlu11 Si e' vero: due matrici $n\times n$ sono coniugate ($=$ simili) se
e solo se hanno la stessa forma di Jordan.
@Maci86 No, neanche questo. Le due matrici qua sotto hanno polinomio
minimo $X^3$ e polinomio caratteristico $X^7$, ma non sono
coniugate.
$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$ \(\qquad\)e\(\qquad\)$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$.
Per vedere che non sono coniugate, basta osservare che i loro quadrati non hanno lo stesso rango.
e solo se hanno la stessa forma di Jordan.
@Maci86 No, neanche questo. Le due matrici qua sotto hanno polinomio
minimo $X^3$ e polinomio caratteristico $X^7$, ma non sono
coniugate.
$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$ \(\qquad\)e\(\qquad\)$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$.
Per vedere che non sono coniugate, basta osservare che i loro quadrati non hanno lo stesso rango.
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