Matrici simili

Pierlu11
Vorrei chiedervi se sono corrette le seguenti implicazioni:
1) A e B hanno lo stesso polinomio minimo se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan (a meno di riordinamenti).
2) A e B sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio minimo.
Grazie in anticipo...

Risposte
Pierlu11
Nessuno può rispondere...?

Maci86
1-2)No$((1,1),(0,1))$ e $((1,0),(0,1))$

Pierlu11
Non capisco il perché di quelle matrici... non mi aiutano in nessuno dei due casi (non hanno né stesso polinomio minimo né stessa forma di Jordan...)

Maci86
Ho letto caratteristico, allora minimo hai queste due matrici:
$((1,0),(0,1))$, $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$

Pierlu11
Non l'ho specificato ma le due matrici devono avere lo stesso numero di righe (colonne)... (Altrimenti il punto due non avrebbe senso)

Maci86
Avrebbe senso in un verso.. Comunque sì, se esprimi l'obbligo della stessa dimensione, sono vere..

Stickelberger
Invece, sono false. Entrambe.

Basta considerare matrici diagonali $n\times n$ diverse da $\pm id$
con coefficienti $\pm 1$ sulla diagonale. I polinomi minimi sono
sempre $X^2-1$. Pero', sono simili se e solo se hanno la stessa forma
di Jordan se e solo se hanno lo stesso numero di coefficienti uguali
a $-1$ (e quindi anche lo stesso numero di coefficienti uguali a $+1$).

Pierlu11
Se il numero di +1 e/o -1 fossero diversi (e non ci sono altri valori come in questo caso visto che le soluzioni del polinomio minimo sono solo -1 e +1) avrebbero traccia diversa e quindi è ovvio che non sono simili (e non hanno stessa forma di Jordan)...

Stickelberger
Si, e' ovvio. Ma hanno lo stesso polinomio minimo.

Pierlu11
Allora è vero che due matrici sono simili se e solo se hanno stessa forma di Jordan...?

Maci86
Secondo me se sostituisci minimo con minimo e caratteristico diventano vere entrambe :D

Gio910
"Pierlu11":
Allora è vero che due matrici sono simili se e solo se hanno stessa forma di Jordan...?

http://www.mat.uniroma2.it/~digennar/Jordan.pdf

Stickelberger
@Pierlu11 Si e' vero: due matrici $n\times n$ sono coniugate ($=$ simili) se
e solo se hanno la stessa forma di Jordan.

@Maci86 No, neanche questo. Le due matrici qua sotto hanno polinomio
minimo $X^3$ e polinomio caratteristico $X^7$, ma non sono
coniugate.

$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$ \(\qquad\)e\(\qquad\)$((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0,0,0))$.

Per vedere che non sono coniugate, basta osservare che i loro quadrati non hanno lo stesso rango.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.