Matrici rispetto a basi differenti
Buongiorno,
tra i miei appunti di Algebra e Geometria trovo svolto il seguente esercizio:
Trovare la matrice $bar A$ associata ad $f:RR^3->RR^2$ rispetto le basi $bar B={(1,0,2),(0,1,-1),(1,-2,3)}$ e $bar B'={(1,0),(1,2)}$ di $RR^3$ e $RR^2$ rispettivamente.
La matrice cercata è $bar A=C^(-1)AD$ con $C=((1,1),(0,2))$ e $D=((1,0,1),(0,1,-2),(2,-1,3))$.
Per $A$ si intende la matrice associata alla funzione tramite le basi canoniche di $RR^3$ e $RR^2$... Ma come la scrivo?
Io so che questa matrice, per definizione, è costituita (nelle sue colonne) dalle componenti delle immagini della base canonica di $RR^3$ rispetto alla base di $RR^2$... Ma praticamente?
tra i miei appunti di Algebra e Geometria trovo svolto il seguente esercizio:
Trovare la matrice $bar A$ associata ad $f:RR^3->RR^2$ rispetto le basi $bar B={(1,0,2),(0,1,-1),(1,-2,3)}$ e $bar B'={(1,0),(1,2)}$ di $RR^3$ e $RR^2$ rispettivamente.
La matrice cercata è $bar A=C^(-1)AD$ con $C=((1,1),(0,2))$ e $D=((1,0,1),(0,1,-2),(2,-1,3))$.
Per $A$ si intende la matrice associata alla funzione tramite le basi canoniche di $RR^3$ e $RR^2$... Ma come la scrivo?
Io so che questa matrice, per definizione, è costituita (nelle sue colonne) dalle componenti delle immagini della base canonica di $RR^3$ rispetto alla base di $RR^2$... Ma praticamente?
Risposte
Non ho capito, non hai la trasformazione lineare e nemmeno i trasformati dei vettori della base di partenza ?
No... Ho riportato tutti i dati
Infatti è l'unica cosa che devi sapere: hai le due basi, hai i vettori, li metti in colonna e trovi le matrici che permettono il cambiamento di base, secondo la "regola". Niente di più. (sì, sembra una cavolata, pare una cavolata, ha il sentore di una cavolata, ma stai attenta: è davvero una cavolata!)
basta prendere come colonne della matrice $A$ le componenti della base canonica di $RR^3$?
Ah avevo capito tutt'altro.
"laska":
basta prendere come colonne della matrice $A$ le componenti della base canonica di $RR^3$?
Ma hai visto la soluzione che hai scritto? Rifletti un attimo.... e pensa anche a ciò che hai detto tu!
Scusami Ciampax,
chiedo nuovamente il tuo aiuto.
Forse mi sto mangiando la testa per una questione idiota e mi viene il dubbio che non abbia capito qualcosa di fondo
Ragionando così:
La matrice $A$ è la matrice della funzione $f: RR^3->RR^2$ tramite le basi canoniche $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ di $RR^3$ e $B'={(1,0),(0,1)}$ di $RR^2$.
Dunque la matrice $A$ dovrebbe essere costruita così:
$\{(f(1,0,0)=(1,0)),(f(0,1,0)=(0,1)),(f(0,0,1)=(0,0))}$
che corrisponde alla matrice $((1,0,0),(0,1,0))$
Sto ragionando correttamente?
chiedo nuovamente il tuo aiuto.
Forse mi sto mangiando la testa per una questione idiota e mi viene il dubbio che non abbia capito qualcosa di fondo
Ragionando così:
La matrice $A$ è la matrice della funzione $f: RR^3->RR^2$ tramite le basi canoniche $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ di $RR^3$ e $B'={(1,0),(0,1)}$ di $RR^2$.
Dunque la matrice $A$ dovrebbe essere costruita così:
$\{(f(1,0,0)=(1,0)),(f(0,1,0)=(0,1)),(f(0,0,1)=(0,0))}$
che corrisponde alla matrice $((1,0,0),(0,1,0))$
Sto ragionando correttamente?
Sono anch'io curioso di sapere come si possa risolvere un tale esercizio conoscendo solo la base in partenza ( da R^3) e quella in arrivo (su R^2)... Forse tra gli appunti deve essersi perso qualcosa 
Oppure il quesito chiede cose diverse ...
Oppure il quesito chiede cose diverse ...
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