Matrici rappresentative
Carissimi vi scrivo perchè il mio prof di Geometria è un pò un cane e ci ha messo in confusione...
allora, si parla di matrici rappresentative di applicazioni lineari.
Ora L : Rn-->Rm è un applicazione lineare che puo essere scritta come:
x--> A x dove A è la matrice rappresentativa di L " rispetto??"
si, è il rispetto che mette in confusione.
il prof ci ha detto che si puo scrivere tale A sia rispetto le canoniche basi di Rn e Rm, ma anche rispetto altre basi!
LA cosa suona strana, ma la spiegazione va avanti: la matrice A contiene le coordinate delle immagini dei vettori della base Rn( si suppone rispetto a Rm..).
ok, ci siamo.
Ma se noi vogliamo calcolare tale A rispetto ad un altra base di Rn e Rm?
" lo stesso procedimento" dice il prof" calcolatevi prima le immagini dei vettori della vostra base di Rn, poi trovate le loro coordinate in Rm, e quelle saranno le colonne della vostra A"
hmm... qualcosa nn mi torna però.... queste due matrici...che saranno per forza di cose DIFFERENTI, mi danno la stessa trasformazione??????????
allora, si parla di matrici rappresentative di applicazioni lineari.
Ora L : Rn-->Rm è un applicazione lineare che puo essere scritta come:
x--> A x dove A è la matrice rappresentativa di L " rispetto??"
si, è il rispetto che mette in confusione.
il prof ci ha detto che si puo scrivere tale A sia rispetto le canoniche basi di Rn e Rm, ma anche rispetto altre basi!
LA cosa suona strana, ma la spiegazione va avanti: la matrice A contiene le coordinate delle immagini dei vettori della base Rn( si suppone rispetto a Rm..).
ok, ci siamo.
Ma se noi vogliamo calcolare tale A rispetto ad un altra base di Rn e Rm?
" lo stesso procedimento" dice il prof" calcolatevi prima le immagini dei vettori della vostra base di Rn, poi trovate le loro coordinate in Rm, e quelle saranno le colonne della vostra A"
hmm... qualcosa nn mi torna però.... queste due matrici...che saranno per forza di cose DIFFERENTI, mi danno la stessa trasformazione??????????
Risposte
l'esercizio svolto nel post da te indicatomi è chiaro, ma è un problema teorico il mio:
questa matrice rappresentativa trovata con altre "basi" di riferimento.....è diversa dalla prima!
e per questo nn fà una diversa trasformazione se applicata allo stesso vettore di Rn?
questa matrice rappresentativa trovata con altre "basi" di riferimento.....è diversa dalla prima!
e per questo nn fà una diversa trasformazione se applicata allo stesso vettore di Rn?
La matrice è diversa, ma se si considera che è espressa rispetto a basi diverse è equivalente alla prima.
Ad esempio, considero rispetto alla base canonica il vettore $((1),(1),(1))$. Rispetto alla base $e_1'=((1),(0),(0))$, $e_2'=((0),(-1),(0))$, $e_3'=((0),(0),(1))$ il vettore precedente è $((1),(-1),(1))$.
I numeri cambiano, il vettore è lo stesso.
I numeri cambiano, il vettore è lo stesso.
ma io tale matrice me la ricavo conoscendo che tipo di trasformazione voglio fare.
e tali basi sono sempre basi di Rn e Rm, quindi esprimono gli stessi vettori.
quello che mi chiedo è che: se prendo un vettore di Rn ( quindi appartenente allo span sia della canonica di Rn, sia di un "altra" base di Rn) e gli faccio prima la trasformazione con la A trovata rispetto le canoniche, e poi per la M trovata rispetto le basi "alternative".
il vettore di arrivo sarà diverso no?
e allora scusate la trasformazione L è cambiata !
e tali basi sono sempre basi di Rn e Rm, quindi esprimono gli stessi vettori.
quello che mi chiedo è che: se prendo un vettore di Rn ( quindi appartenente allo span sia della canonica di Rn, sia di un "altra" base di Rn) e gli faccio prima la trasformazione con la A trovata rispetto le canoniche, e poi per la M trovata rispetto le basi "alternative".
il vettore di arrivo sarà diverso no?
e allora scusate la trasformazione L è cambiata !
"Tipper":
Ad esempio, considero rispetto alla base canonica il vettore $((1),(1),(1))$. Rispetto alla base $e_1'=((1),(0),(0))$, $e_2'=((0),(-1),(0))$, $e_3'=((0),(0),(1))$ il vettore precedente è $((1),(-1),(1))$.
I numeri cambiano, il vettore è lo stesso.
ma il vettore non cambia, te mi stai parlando di coordinate che cambiano...
"Ing.Fede":
ma io tale matrice me la ricavo conoscendo che tipo di trasformazione voglio fare.
Non solo, devi anche sapere rispetto a quale base.
"Ing.Fede":
ma il vettore non cambia, te mi stai parlando di coordinate che cambiano...
Lo stesso accade con le matrici.
Ok, cerchiamo di fare chiarezza:
giustamente io vedo una trasformazione, e voglio trovare la matrice che me la fa rispetto a una certa base...in quanto basi diverse esprimono( a volte) vettori diversi,giusto.
Ora pero io posso rendere basi diverse che esprimono gli stessi vettori, ad esempio diverse basi di Rn e Rm.
definite le basi, ora io so a quali vettori voglio applicare la mia trasformazione giusto?
Bene, allora mi dico: se queste basi sono uguali, la matrice che esprime la mia trasformazione sara uguale..........perchè se non è uguale, quando io prendo il mio vettore di Rn ( che sta sia nella canonica sia nell'alternativa base di Rn) e me lo trasformo....se lo faccio con la mia matrice fatta con le canoniche mi viene un vettore, se lo faccio tramite l'altra.... me ne viene un altro!
capito ora
....?
giustamente io vedo una trasformazione, e voglio trovare la matrice che me la fa rispetto a una certa base...in quanto basi diverse esprimono( a volte) vettori diversi,giusto.
Ora pero io posso rendere basi diverse che esprimono gli stessi vettori, ad esempio diverse basi di Rn e Rm.
definite le basi, ora io so a quali vettori voglio applicare la mia trasformazione giusto?
Bene, allora mi dico: se queste basi sono uguali, la matrice che esprime la mia trasformazione sara uguale..........perchè se non è uguale, quando io prendo il mio vettore di Rn ( che sta sia nella canonica sia nell'alternativa base di Rn) e me lo trasformo....se lo faccio con la mia matrice fatta con le canoniche mi viene un vettore, se lo faccio tramite l'altra.... me ne viene un altro!
capito ora
....?
Se hai la matrice espressa secondo la base canonica, allora l'immagine di un vettore $v$, diciamola $f(v)$, sarà un vettore espresso secondo la base canonica.
Se la matrice è espressa rispetto ad una base $E$ allora anche l'immagine del vettore $v$ sarà un vettore espresso rispetto alla base $E$.
Ovviamente $f(v)_{"rispetto alla base canonica"}=f(v)_{"rispetto alla base E"}$, anche se ovviamente le coordinate cambiano.
Infatti, se la base $E$ è composta da vettori $e_1, e_2, \ldots, e_n$, allora un vettore $v$ ha coordinate rispetto a tale base $((\alpha_1),(\alpha_2),(\vdots),(\alpha_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$.
Lo stesso vettore $v$ si può esprimere rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^n$, e si dirà che ha coordinate $((\beta_1),(\beta_2),(\vdots),(\beta_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$, dove gli $u_k$ sono i versori fondamentali.
Ovviamente risulta $\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$.
Se la matrice è espressa rispetto ad una base $E$ allora anche l'immagine del vettore $v$ sarà un vettore espresso rispetto alla base $E$.
Ovviamente $f(v)_{"rispetto alla base canonica"}=f(v)_{"rispetto alla base E"}$, anche se ovviamente le coordinate cambiano.
Infatti, se la base $E$ è composta da vettori $e_1, e_2, \ldots, e_n$, allora un vettore $v$ ha coordinate rispetto a tale base $((\alpha_1),(\alpha_2),(\vdots),(\alpha_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$.
Lo stesso vettore $v$ si può esprimere rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^n$, e si dirà che ha coordinate $((\beta_1),(\beta_2),(\vdots),(\beta_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$, dove gli $u_k$ sono i versori fondamentali.
Ovviamente risulta $\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$.
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