Matrici rappresentative

Ing.Fede1
Carissimi vi scrivo perchè il mio prof di Geometria è un pò un cane e ci ha messo in confusione...

allora, si parla di matrici rappresentative di applicazioni lineari.

Ora L : Rn-->Rm è un applicazione lineare che puo essere scritta come:

x--> A x dove A è la matrice rappresentativa di L " rispetto??"


si, è il rispetto che mette in confusione.
il prof ci ha detto che si puo scrivere tale A sia rispetto le canoniche basi di Rn e Rm, ma anche rispetto altre basi!

LA cosa suona strana, ma la spiegazione va avanti: la matrice A contiene le coordinate delle immagini dei vettori della base Rn( si suppone rispetto a Rm..).

ok, ci siamo.

Ma se noi vogliamo calcolare tale A rispetto ad un altra base di Rn e Rm?
" lo stesso procedimento" dice il prof" calcolatevi prima le immagini dei vettori della vostra base di Rn, poi trovate le loro coordinate in Rm, e quelle saranno le colonne della vostra A"

hmm... qualcosa nn mi torna però.... queste due matrici...che saranno per forza di cose DIFFERENTI, mi danno la stessa trasformazione??????????

Risposte
_Tipper
Se ne è discusso qui, se poi hai ancora dubbi chiedi pure.

Ing.Fede1
l'esercizio svolto nel post da te indicatomi è chiaro, ma è un problema teorico il mio:

questa matrice rappresentativa trovata con altre "basi" di riferimento.....è diversa dalla prima!


e per questo nn fà una diversa trasformazione se applicata allo stesso vettore di Rn?

_Tipper
La matrice è diversa, ma se si considera che è espressa rispetto a basi diverse è equivalente alla prima.

_Tipper
Ad esempio, considero rispetto alla base canonica il vettore $((1),(1),(1))$. Rispetto alla base $e_1'=((1),(0),(0))$, $e_2'=((0),(-1),(0))$, $e_3'=((0),(0),(1))$ il vettore precedente è $((1),(-1),(1))$.

I numeri cambiano, il vettore è lo stesso.

Ing.Fede1
ma io tale matrice me la ricavo conoscendo che tipo di trasformazione voglio fare.


e tali basi sono sempre basi di Rn e Rm, quindi esprimono gli stessi vettori.

quello che mi chiedo è che: se prendo un vettore di Rn ( quindi appartenente allo span sia della canonica di Rn, sia di un "altra" base di Rn) e gli faccio prima la trasformazione con la A trovata rispetto le canoniche, e poi per la M trovata rispetto le basi "alternative".

il vettore di arrivo sarà diverso no?

e allora scusate la trasformazione L è cambiata !

Ing.Fede1
"Tipper":
Ad esempio, considero rispetto alla base canonica il vettore $((1),(1),(1))$. Rispetto alla base $e_1'=((1),(0),(0))$, $e_2'=((0),(-1),(0))$, $e_3'=((0),(0),(1))$ il vettore precedente è $((1),(-1),(1))$.

I numeri cambiano, il vettore è lo stesso.


ma il vettore non cambia, te mi stai parlando di coordinate che cambiano...

_Tipper
"Ing.Fede":
ma io tale matrice me la ricavo conoscendo che tipo di trasformazione voglio fare.

Non solo, devi anche sapere rispetto a quale base.

_Tipper
"Ing.Fede":
ma il vettore non cambia, te mi stai parlando di coordinate che cambiano...

Lo stesso accade con le matrici.

Ing.Fede1
Ok, cerchiamo di fare chiarezza:

giustamente io vedo una trasformazione, e voglio trovare la matrice che me la fa rispetto a una certa base...in quanto basi diverse esprimono( a volte) vettori diversi,giusto.


Ora pero io posso rendere basi diverse che esprimono gli stessi vettori, ad esempio diverse basi di Rn e Rm.


definite le basi, ora io so a quali vettori voglio applicare la mia trasformazione giusto?

Bene, allora mi dico: se queste basi sono uguali, la matrice che esprime la mia trasformazione sara uguale..........perchè se non è uguale, quando io prendo il mio vettore di Rn ( che sta sia nella canonica sia nell'alternativa base di Rn) e me lo trasformo....se lo faccio con la mia matrice fatta con le canoniche mi viene un vettore, se lo faccio tramite l'altra.... me ne viene un altro!


capito ora :( ....?

_Tipper
Se hai la matrice espressa secondo la base canonica, allora l'immagine di un vettore $v$, diciamola $f(v)$, sarà un vettore espresso secondo la base canonica.

Se la matrice è espressa rispetto ad una base $E$ allora anche l'immagine del vettore $v$ sarà un vettore espresso rispetto alla base $E$.

Ovviamente $f(v)_{"rispetto alla base canonica"}=f(v)_{"rispetto alla base E"}$, anche se ovviamente le coordinate cambiano.

Infatti, se la base $E$ è composta da vettori $e_1, e_2, \ldots, e_n$, allora un vettore $v$ ha coordinate rispetto a tale base $((\alpha_1),(\alpha_2),(\vdots),(\alpha_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$.

Lo stesso vettore $v$ si può esprimere rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^n$, e si dirà che ha coordinate $((\beta_1),(\beta_2),(\vdots),(\beta_n))$ se e solo se $v=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$, dove gli $u_k$ sono i versori fondamentali.

Ovviamente risulta $\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^n \beta_k \u_k$.

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