Matrici quadrate. Autovettori ed autovalori.
Salve, il compitino di oggi è passato, ho forti dubbi sullo svolgimento di uno degli esercizi proposti, che riporto:
Sia $A$ una matrice quadrata, e $v$ un autovettore con autovalore $\alpha=-2$ rispetto ad A.
Dimostrare che $v$ è autovettore anche della matrice $M = A^3 -7A$, e calcolarne l'autovalore $\alpha$
Il mio svolgimento (molto affrettato e del quale ripeto di non essere troppo convinto) è stato il seguente. Da ipotesi, so che $Av=-2*v$, quel che devo dimostrare è che $(A^3 -7A)v= alpha*v$, e calcolare il valore $alpha$. Partendo dal primo membro di questa equazione, ho scritto $(A^3-7A)v$ come $A^3*v - 7A*v$. A questo punto, ho "diviso" $A^3*v$ in $A^2*(A*v)$, sostituendo poi ad $A*v$ il valore $-2v$ presente nelle ipotesi. Dopo aver applicato per 3 volte lo stesso procedimento su $A^3$, ciò che mi resta è $-8v + 14v$, ossia $6v$. Ho concluso dicendo che $v$ è autovettore di $M$, con autovalore $6$.
La risoluzione è corretta oppure ho fatto dei conti che non stanno ne in cielo ne in terra? Grazie anticipatamente.
Sia $A$ una matrice quadrata, e $v$ un autovettore con autovalore $\alpha=-2$ rispetto ad A.
Dimostrare che $v$ è autovettore anche della matrice $M = A^3 -7A$, e calcolarne l'autovalore $\alpha$
Il mio svolgimento (molto affrettato e del quale ripeto di non essere troppo convinto) è stato il seguente. Da ipotesi, so che $Av=-2*v$, quel che devo dimostrare è che $(A^3 -7A)v= alpha*v$, e calcolare il valore $alpha$. Partendo dal primo membro di questa equazione, ho scritto $(A^3-7A)v$ come $A^3*v - 7A*v$. A questo punto, ho "diviso" $A^3*v$ in $A^2*(A*v)$, sostituendo poi ad $A*v$ il valore $-2v$ presente nelle ipotesi. Dopo aver applicato per 3 volte lo stesso procedimento su $A^3$, ciò che mi resta è $-8v + 14v$, ossia $6v$. Ho concluso dicendo che $v$ è autovettore di $M$, con autovalore $6$.
La risoluzione è corretta oppure ho fatto dei conti che non stanno ne in cielo ne in terra? Grazie anticipatamente.
Risposte
Tutto giusto.
In generale se $P$ e' un qualsiasi polinomio e $v$ e' autovettore di $A$ con autovalore $alpha$ allora $v$ e' un autovettore di $P(A)$ con autovalore $P(alpha)$. Per vederlo basta generalizzare il tuo ragionamento.
In generale se $P$ e' un qualsiasi polinomio e $v$ e' autovettore di $A$ con autovalore $alpha$ allora $v$ e' un autovettore di $P(A)$ con autovalore $P(alpha)$. Per vederlo basta generalizzare il tuo ragionamento.
"Martino":
Tutto giusto.
In generale se $P$ e' un qualsiasi polinomio e $v$ e' autovettore di $A$ con autovalore $alpha$ allora $v$ e' un autovettore di $P(A)$ con autovalore $P(alpha)$. Per vederlo basta generalizzare il tuo ragionamento.
Ti ringrazio per la velocità, per la precisione...e perchè, esame alla mano, è una bella notizia! Grazie..
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