Matrici piccole
Sia $G$ una matrice reale 3x3.
E' chiaro che se le componenti di $G$ sono piccole, cioè $tr(G^TG)< <1$, allora anche le componenti di $E = 1/2( G + G^T + G^TG)$ lo sono.
Vale anche il viceversa?
Non so se serve, ma di $G$ so solamente che esiste un'altra matrice $F$ con determinante strettamente positivo tale che $G=F-I$, con $I$ matrice identica
E' chiaro che se le componenti di $G$ sono piccole, cioè $tr(G^TG)< <1$, allora anche le componenti di $E = 1/2( G + G^T + G^TG)$ lo sono.
Vale anche il viceversa?
Non so se serve, ma di $G$ so solamente che esiste un'altra matrice $F$ con determinante strettamente positivo tale che $G=F-I$, con $I$ matrice identica
Risposte
La condizione sul determinante di F serve, come si vede in questo caso:
\[G = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
g&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&0
\end{array}} \right)\]
quindi le altre 2 matrici valgono
\[F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + g}&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{array}} \right);E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{g + \frac{{{g^2}}}{2}}&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&0
\end{array}} \right)\]
dobbiamo imporre che F abbia determinante positivo ed E piccola, cioè:
\[\left\{ \begin{gathered}
1 + g > 0 \\
\left| {g + \frac{{{g^2}}}{2}} \right| < \varepsilon \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\]
con $\varepsilon>0$ e molto piccolo rispetto all'unità, ad esempio possiamo pensare pari a $10^-3$
risolvendo il sistema si trova
\[ - 1 + \sqrt {1 - 2\varepsilon } < g < - 1 + \sqrt {1 + 2\varepsilon } \]
quindi per maggiorazione anche
\[ - 2\varepsilon < g < \varepsilon \]
concludo che g è piccolo e il "viceversa" è verificato. Se non avessi usato la condizione sul determinante di F avrei avuto un altro intervallo ammissibile per $g$ vicino a $-2$, cioè $G$ non sarebbe obbligato ad essere piccola
\[G = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
g&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&0
\end{array}} \right)\]
quindi le altre 2 matrici valgono
\[F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + g}&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{array}} \right);E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{g + \frac{{{g^2}}}{2}}&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&0
\end{array}} \right)\]
dobbiamo imporre che F abbia determinante positivo ed E piccola, cioè:
\[\left\{ \begin{gathered}
1 + g > 0 \\
\left| {g + \frac{{{g^2}}}{2}} \right| < \varepsilon \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\]
con $\varepsilon>0$ e molto piccolo rispetto all'unità, ad esempio possiamo pensare pari a $10^-3$
risolvendo il sistema si trova
\[ - 1 + \sqrt {1 - 2\varepsilon } < g < - 1 + \sqrt {1 + 2\varepsilon } \]
quindi per maggiorazione anche
\[ - 2\varepsilon < g < \varepsilon \]
concludo che g è piccolo e il "viceversa" è verificato. Se non avessi usato la condizione sul determinante di F avrei avuto un altro intervallo ammissibile per $g$ vicino a $-2$, cioè $G$ non sarebbe obbligato ad essere piccola
Provare a diagonalizzare le matrici per semplificare i calcoli?
"ralf86":
Sia $G$ una matrice reale 3x3.
E' chiaro che se le componenti di $G$ sono piccole, cioè $tr(G^TG)< <1$, allora anche le componenti di $E = 1/2( G + G^T + G^TG)$ lo sono.
Vale anche il viceversa?
Non so se serve, ma di $G$ so solamente che esiste un'altra matrice $F$ con determinante strettamente positivo tale che $G=F-I$, con $I$ matrice identica
\(E = \frac12 G + \frac12 G^T + \frac12 G^TG\)
A questo punto
\(\lVert R\rVert_{\infty} \le \frac12 \lVert G\rVert_{\infty} + \frac12 \lVert G^T\rVert_{\infty} + \frac12 \lVert G^TG\rVert_{\infty}\)
dove \(\lVert A \rVert_{\infty} = \max \lvert a_{ij}\rvert\).
Osserviamo pertanto che \(\lVert G\rVert_{\infty} = \lVert G^T\rVert_{\infty}\) perciò \(\lVert R\rVert_{\infty} \le \lVert G\rVert_{\infty} + \frac12 \lVert G^TG\rVert_{\infty}\).
Ci rimane solo da scrivere \(\lVert G^TG\rVert_{\infty}\) in modo più semplice da leggere. Si noti che ogni componente di \(G^TG\) è uguale al prodotto scalare di due colonne. Siccome il valore assoluto di ogni elemento della matrice \(G\) è minore o uguale a \(\lVert G\rVert_{\infty}\) ricavo che \(\lVert G^TG\rVert_{\infty} \le n \lVert G\rVert_{\infty}^2 \).
In definitiva \(\lVert R\rVert_{\infty} \le \lVert G\rVert_{\infty} + n\lVert G\rVert_{\infty}^2\).
Questo risponde alla tua domanda?
ciao Vict,
dove hai usato che $det(G+I)>0$? nel caso semplice che ho fatto sopra serve (se non ho sbagliato qualcosa)
dove hai usato che $det(G+I)>0$? nel caso semplice che ho fatto sopra serve (se non ho sbagliato qualcosa)
Non l'ho usato, e se non ho sbagliato qualcosa non serve. L'elemento più grande di \(G\) in valore assoluto è senza dubbio uguale a quello di \(G^T\). La limitazione su \(G^TG\) non è molto più difficile. Il fatto che uno abbia usato quel fatto in una dimostrazione non significa che sia necessario, e usarlo non significa aver usato una dimostrazione sbagliata (ma solo di correttezza più limitata).
Però mi sono accorto di aver dimostrato la parte che ti era chiara, per il viceversa faccio qualche osservazione. Per il resto ci penso ed eventualmente cerco controesempi.
Scritto in componenti si ha che \(e_{ij} = g_{ij} + g_{ji} + \sum g_{ri}g_{rj}\). Nel caso della diagonale si ha che \(e_{ii} = 2g_{ii} + \sum g_{ri}^2\) pertanto \(tr(E) = 2 tr(G) + tr(G^TG)\). Se \(\lVert E\rVert_{\infty} \le \varepsilon \ll 1\) allora senz'altro \( 2 tr(G) + tr(G^TG) \le \varepsilon \)
Se le due tracce hanno lo stesso segno allora \(tr(G^TG) \le \varepsilon \ll \varepsilon\).
Rimane da dimostrare il caso in cui \(tr(G) < 0\) (\(tr(G^TG)\) è sempre positivo perché somma di quadrati).\(
tr(E) = 2 tr(G) + tr(G^TG) \)
Però mi sono accorto di aver dimostrato la parte che ti era chiara, per il viceversa faccio qualche osservazione. Per il resto ci penso ed eventualmente cerco controesempi.
Scritto in componenti si ha che \(e_{ij} = g_{ij} + g_{ji} + \sum g_{ri}g_{rj}\). Nel caso della diagonale si ha che \(e_{ii} = 2g_{ii} + \sum g_{ri}^2\) pertanto \(tr(E) = 2 tr(G) + tr(G^TG)\). Se \(\lVert E\rVert_{\infty} \le \varepsilon \ll 1\) allora senz'altro \( 2 tr(G) + tr(G^TG) \le \varepsilon \)
Se le due tracce hanno lo stesso segno allora \(tr(G^TG) \le \varepsilon \ll \varepsilon\).
Rimane da dimostrare il caso in cui \(tr(G) < 0\) (\(tr(G^TG)\) è sempre positivo perché somma di quadrati).\(
tr(E) = 2 tr(G) + tr(G^TG) \)
..elegante il passaggio alle tracce, complimenti.
ok grazie mille per ora
ok grazie mille per ora
Controesempio: $F=R$ con $R$ matrice di rotazione propria (ortogonale e a determinante unitario)
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