Matrici ortogonali di ordine $4$

Angus1956
Scrivere le matrici ortogonali di ordine $4$.
A mio avviso le uniche matrici di ordine $4$ ortogonali sono $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,-sin\theta),(0,0,sin\theta,cos\theta))$, $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$,$((cos\theta,sin\theta,0,0),(sin\theta,-cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$. Non credo ce ne siano altre, voi che dite?

Risposte
megas_archon
Beh, le matrici ortogonali di ordine 4 sono molte di più ovviamente, forse quello che intendi è classificarle a meno di equivalenza.

Angus1956
"megas_archon":
Beh, le matrici ortogonali di ordine 4 sono molte di più ovviamente, forse quello che intendi è classificarle a meno di equivalenza.

Beh si a meno di similitudine, credo.

j18eos
Non mi pare che la seguente
\[
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\in\mathscr{O}(4,\mathbb{R})
\]
sia generata dalle matrici che hai scritto...

megas_archon
Non sono le uniche classi di similitudine allora, perché nei due blocchi 2x2 l'angolo di rotazione può cambiare; però ci sei quasi, perché sei vicino a riscoprire la decomposizione isoclinica (o "fattorizzazione di Cayley") di matrici in $SO(4)$: è un fatto generale che ogni matrice in \(SO(4,\mathbb R)\) sia ortogonalmente simile su \(\mathbb R\) a una matrice a blocchi diagonali della forma \(\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)\) dove \(\Theta_1,\Theta_2\in SO(2,\mathbb R)\), quindi \(\Theta_i = \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i \\
\sin\theta_i & \cos\theta_i
\end{smallmatrix}\right)\) è la matrice $R(\theta_i)$ di rotazione dell'angolo \(\theta_i\), per $i=1,2$.

Se ora chiami \(\alpha,\beta\) le uniche soluzioni del sistema \(\begin{cases}\alpha+\beta=\theta_1\\ \alpha-\beta =\theta_2\end{cases}\), è semplice mostrare che \[\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)
\] esprimendo così ogni matrice di \(SO(4,\mathbb R)\) come la composizione di una "rotazione isoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)\) e di una "rotazione anisoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)\), da cui deduci che ogni trasformazione ortogonale speciale 4-dimensionale si decompone come prodotto di una rotazione isoclinica e di una anisoclinica. Nota che le trasformazioni isocliniche commutano con le anisocliniche.

megas_archon
Una maniera più geometrica di interpretare la decomposizione di cui sopra consiste nell'osservare che identificando il corpo dei quaternioni ad \(\mathbb R^4\), la moltiplicazione a sinistra \(r_x:\mathbb H\to\mathbb H:q\mapsto xq\) per un quaternione unitario \(x\in\mathbb H_1\) è (lineare e) ortogonale speciale, quindi si rappresenta come un elemento di \(SO(4,\mathbb R)\), che sarà proprio una rotazione isoclinica; analogamente, \(l_x : q\mapsto q\bar x\) (moltiplica a destra per il coniugato di x) è una rotazione anisoclinica: per dimostrarlo, prendi un quaternione unitario della forma \((\cos\alpha,\sin\alpha,0,0)\) e scrivi la matrice della moltiplicazione a sinistra/destra.

Allora ogni trasformazione $A$ di \(SO(4,\mathbb R)\) si esprime così: dato un vettore $v$ di \(\mathbb R^4\) lo si identifica a un quaternione \(q\in\mathbb H\) e l'immagine \(Av\) di $v$ mediante $A$ è il vettore corrispondente al quaternione \(yq\bar x\), per certi quaternioni unitari \(x,y\in \mathbb H_1\).

Esercizio per te: questa mappa \(\mathbb H_1\times\mathbb H_1\to SO(4,\mathbb R)\) che prende due quaternioni unitari e li manda nella applicazione \(q\mapsto yq\bar x\) è un omomorfismo suriettivo ma non è iniettivo: chi ne è il nucleo?

Angus1956
"megas_archon":
Non sono le uniche classi di similitudine allora, perché nei due blocchi 2x2 l'angolo di rotazione può cambiare; però ci sei quasi, perché sei vicino a riscoprire la decomposizione isoclinica (o "fattorizzazione di Cayley") di matrici in $SO(4)$: è un fatto generale che ogni matrice in \(SO(4,\mathbb R)\) sia ortogonalmente simile su \(\mathbb R\) a una matrice a blocchi diagonali della forma \(\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)\) dove \(\Theta_1,\Theta_2\in SO(2,\mathbb R)\), quindi \(\Theta_i = \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i \\
\sin\theta_i & \cos\theta_i
\end{smallmatrix}\right)\) .


A ok quindi cambiano anche gli angoli per ogni blocco $2xx2$.

megas_archon
Cambiano, ma non liberamente; nella maniera che ho descritto.

Angus1956
"megas_archon":
Cambiano, ma non liberamente; nella maniera che ho descritto.

Io ho capito che una rotazione isoclinica abbiamo per entrambi i blocchi $2xx2$ la stessa rotazione nello stesso senso mentre la anisoclinica la rotazione è dello stesso angolo ma in senso contrario e inoltre commutano perchè due rotazioni si "sommano", quindi cambiano nel senso di decomposizione isoclinica e anisoclinica, questo intendi? Scusami per l'ignoranza, ma faccio il primo anno (ho 19 anni) quindi molte cose che hai detto sto cercando di capire che non le abbiamo fatte.

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