Matrici ortogonali di ordine $4$
Scrivere le matrici ortogonali di ordine $4$.
A mio avviso le uniche matrici di ordine $4$ ortogonali sono $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,-sin\theta),(0,0,sin\theta,cos\theta))$, $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$,$((cos\theta,sin\theta,0,0),(sin\theta,-cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$. Non credo ce ne siano altre, voi che dite?
A mio avviso le uniche matrici di ordine $4$ ortogonali sono $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,-sin\theta),(0,0,sin\theta,cos\theta))$, $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$,$((cos\theta,sin\theta,0,0),(sin\theta,-cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$. Non credo ce ne siano altre, voi che dite?
Risposte
Beh, le matrici ortogonali di ordine 4 sono molte di più ovviamente, forse quello che intendi è classificarle a meno di equivalenza.
"megas_archon":
Beh, le matrici ortogonali di ordine 4 sono molte di più ovviamente, forse quello che intendi è classificarle a meno di equivalenza.
Beh si a meno di similitudine, credo.
Non mi pare che la seguente
\[
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\in\mathscr{O}(4,\mathbb{R})
\]
sia generata dalle matrici che hai scritto...
\[
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\in\mathscr{O}(4,\mathbb{R})
\]
sia generata dalle matrici che hai scritto...
Non sono le uniche classi di similitudine allora, perché nei due blocchi 2x2 l'angolo di rotazione può cambiare; però ci sei quasi, perché sei vicino a riscoprire la decomposizione isoclinica (o "fattorizzazione di Cayley") di matrici in $SO(4)$: è un fatto generale che ogni matrice in \(SO(4,\mathbb R)\) sia ortogonalmente simile su \(\mathbb R\) a una matrice a blocchi diagonali della forma \(\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)\) dove \(\Theta_1,\Theta_2\in SO(2,\mathbb R)\), quindi \(\Theta_i = \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i \\
\sin\theta_i & \cos\theta_i
\end{smallmatrix}\right)\) è la matrice $R(\theta_i)$ di rotazione dell'angolo \(\theta_i\), per $i=1,2$.
Se ora chiami \(\alpha,\beta\) le uniche soluzioni del sistema \(\begin{cases}\alpha+\beta=\theta_1\\ \alpha-\beta =\theta_2\end{cases}\), è semplice mostrare che \[\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)
\] esprimendo così ogni matrice di \(SO(4,\mathbb R)\) come la composizione di una "rotazione isoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)\) e di una "rotazione anisoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)\), da cui deduci che ogni trasformazione ortogonale speciale 4-dimensionale si decompone come prodotto di una rotazione isoclinica e di una anisoclinica. Nota che le trasformazioni isocliniche commutano con le anisocliniche.
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)\) dove \(\Theta_1,\Theta_2\in SO(2,\mathbb R)\), quindi \(\Theta_i = \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i \\
\sin\theta_i & \cos\theta_i
\end{smallmatrix}\right)\) è la matrice $R(\theta_i)$ di rotazione dell'angolo \(\theta_i\), per $i=1,2$.
Se ora chiami \(\alpha,\beta\) le uniche soluzioni del sistema \(\begin{cases}\alpha+\beta=\theta_1\\ \alpha-\beta =\theta_2\end{cases}\), è semplice mostrare che \[\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)
\] esprimendo così ogni matrice di \(SO(4,\mathbb R)\) come la composizione di una "rotazione isoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\alpha) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(\alpha)
\end{smallmatrix}\right)\) e di una "rotazione anisoclinica" \(\left(\begin{smallmatrix}
R(\beta) & \mathbb O \\
\mathbb O & R(-\beta)
\end{smallmatrix}\right)\), da cui deduci che ogni trasformazione ortogonale speciale 4-dimensionale si decompone come prodotto di una rotazione isoclinica e di una anisoclinica. Nota che le trasformazioni isocliniche commutano con le anisocliniche.
Una maniera più geometrica di interpretare la decomposizione di cui sopra consiste nell'osservare che identificando il corpo dei quaternioni ad \(\mathbb R^4\), la moltiplicazione a sinistra \(r_x:\mathbb H\to\mathbb H:q\mapsto xq\) per un quaternione unitario \(x\in\mathbb H_1\) è (lineare e) ortogonale speciale, quindi si rappresenta come un elemento di \(SO(4,\mathbb R)\), che sarà proprio una rotazione isoclinica; analogamente, \(l_x : q\mapsto q\bar x\) (moltiplica a destra per il coniugato di x) è una rotazione anisoclinica: per dimostrarlo, prendi un quaternione unitario della forma \((\cos\alpha,\sin\alpha,0,0)\) e scrivi la matrice della moltiplicazione a sinistra/destra.
Allora ogni trasformazione $A$ di \(SO(4,\mathbb R)\) si esprime così: dato un vettore $v$ di \(\mathbb R^4\) lo si identifica a un quaternione \(q\in\mathbb H\) e l'immagine \(Av\) di $v$ mediante $A$ è il vettore corrispondente al quaternione \(yq\bar x\), per certi quaternioni unitari \(x,y\in \mathbb H_1\).
Esercizio per te: questa mappa \(\mathbb H_1\times\mathbb H_1\to SO(4,\mathbb R)\) che prende due quaternioni unitari e li manda nella applicazione \(q\mapsto yq\bar x\) è un omomorfismo suriettivo ma non è iniettivo: chi ne è il nucleo?
Allora ogni trasformazione $A$ di \(SO(4,\mathbb R)\) si esprime così: dato un vettore $v$ di \(\mathbb R^4\) lo si identifica a un quaternione \(q\in\mathbb H\) e l'immagine \(Av\) di $v$ mediante $A$ è il vettore corrispondente al quaternione \(yq\bar x\), per certi quaternioni unitari \(x,y\in \mathbb H_1\).
Esercizio per te: questa mappa \(\mathbb H_1\times\mathbb H_1\to SO(4,\mathbb R)\) che prende due quaternioni unitari e li manda nella applicazione \(q\mapsto yq\bar x\) è un omomorfismo suriettivo ma non è iniettivo: chi ne è il nucleo?
"megas_archon":
Non sono le uniche classi di similitudine allora, perché nei due blocchi 2x2 l'angolo di rotazione può cambiare; però ci sei quasi, perché sei vicino a riscoprire la decomposizione isoclinica (o "fattorizzazione di Cayley") di matrici in $SO(4)$: è un fatto generale che ogni matrice in \(SO(4,\mathbb R)\) sia ortogonalmente simile su \(\mathbb R\) a una matrice a blocchi diagonali della forma \(\left(\begin{smallmatrix}
\Theta_1 & \mathbb O \\
\mathbb O & \Theta_2
\end{smallmatrix}\right)\) dove \(\Theta_1,\Theta_2\in SO(2,\mathbb R)\), quindi \(\Theta_i = \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i \\
\sin\theta_i & \cos\theta_i
\end{smallmatrix}\right)\) .
A ok quindi cambiano anche gli angoli per ogni blocco $2xx2$.
Cambiano, ma non liberamente; nella maniera che ho descritto.
"megas_archon":
Cambiano, ma non liberamente; nella maniera che ho descritto.
Io ho capito che una rotazione isoclinica abbiamo per entrambi i blocchi $2xx2$ la stessa rotazione nello stesso senso mentre la anisoclinica la rotazione è dello stesso angolo ma in senso contrario e inoltre commutano perchè due rotazioni si "sommano", quindi cambiano nel senso di decomposizione isoclinica e anisoclinica, questo intendi? Scusami per l'ignoranza, ma faccio il primo anno (ho 19 anni) quindi molte cose che hai detto sto cercando di capire che non le abbiamo fatte.
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