Matrici Ortogonali

[Dust1]

Vorrei un commento su questo esercizio

E' data la matrice $M_a=1/3((a,-a,1),(-2,-1,2),(1,2,2))$ con $a in RR$; quale frase è falsa?
A: $M_a$ ortogonale $=> a=2$;
B: $M_a$ ortogonalmente diagonalizzabile $=> a=2$;
C: $M_a$ è ortogonale per ogni $a$.


Al 1° impatto direi che è la C quella falsa, dato che se si sceglie un valore qualsiasi di $a$ la matrice non sarà composta da righe e colonne che formano una base ortonormale. La B invece è vera perchè solo $a=2$ rende la matrice simmetrica e quindi ortogonalmente diagonalizzabile. La A invece mi rende un po' dubbioso. Dato che come ho scritto sopra, per essere ortogonale una matrice deve avere righe e colonne che formano una base di versori ortonormali, a mio parere il $=> a=2$ è errato, perchè va bene anche per $a=-2$.. Che dite?

Ciao e grazie

[_Tipper]

Se prendi $a=0$ noti che $A A^T \ne I$. Il fatto che vada bene anche per $a=-2$, non significa che non vada bene anche per $a=2$, quindi la A è vera.

Comunque, mi pare proprio che per $a=-2$ la matrice non sia ortogonale.

[Dust1]

"Tipper":Se prendi $a=0$ noti che $A A^T \ne I$. Il fatto che vada bene anche per $a=-2$, non significa che non vada bene anche per $a=2$, quindi la A è vera.

Scusa ho fatto confusione.. Se $a=-2$ ottengo una matrice che ha righe e colonne che sono tutti versori.. Solo che non sono tutti orogonali tra loro.. Per cui cade anche la riflessione che ho fatto per la A...

ciao