Matrici nilpotenti non sono diagonalizabili

[mad.fk-votailprof]

ciao a tutti ho trovato scritto nel mio libro che le matrici nilpotenti (quelle che moltiplicate con se stesse danno la matrice nulla) non sono diagoalizzabili ma non riesco a capire il perchè

[dissonance]

Chiediti quali sono i possibili autovalori di una matrice nilpotente. Allora qual è l'unica matrice nilpotente diagonalizzabile?

[mad.fk-votailprof]

Grazie dell' aiutino ma non riesco ad arrivarci.
nel mio libro c'è solo scritto che una matrice nilpotente o a potenza nulla moltiplicata per se stessa da la matrice nulla, ma non c'è nemmeno un esempio. Io ragionandoci un pò ho capito come può essere fatta ma non mi ha aiutato molto.

[dissonance]

Tieni conto che se gli autovalori di una matrice quadrata $A$ sono $lambda_1...lambda_k$, allora gli autovalori di $A^2$ sono $lambda_1^2...lambda_k^2$. Ti è chiaro perché? Prova a dimostrarlo, è una semplice verifica. E quindi, naturalmente, gli autovalori di $A^h$ sono $lambda_1^h...lambda_k^h$.

Adesso immagina che $A^h=0$. Ma allora gli autovalori di $A^h$ quali sono? E quindi, per l'osservazione di prima, gli autovalori di $A$ quali sono? Adesso supponiamo che $A$ sia pure diagonalizzabile. Però, con quegli autovalori lì... c'è solo una matrice diagonalizzabile. Quale?

E se vuoi un esempio di matrice nilpotente te ne faccio due. Il primo è quello più cretino possibile: $((0,0), (0,0))$. Il secondo è $((0, 1), (0, 0))$.

[mad.fk-votailprof]

intanto grazie ma dimmi se ho capito giusto gli autovalori di $ A^h $ sono $ (0cdots 0) $ che sono gli stessi di $ A $ (perchè ho fatto la radice h-esima), quindi l' unica matrice che è diagonalizzabile con quegli autovalori è la matrice nulla perchè l' autospazio associato a 0 (cioè il nucleo) ha la dimensione uguale alla molteplicita di 0 solo in quel caso.

nel mio libro infatti c'è scitto per $ A != 0 $

puoi confermarmi se ho detto tutto in maniera esatta e grazie ancora

[dissonance]

E' giusto. Solo questa cosa

perchè l' autospazio associato a 0 (cioè il nucleo) ha la dimensione uguale alla molteplicita di 0 solo in quel caso.

Troppo complicato. Se una matrice $A$ ha solo l'autovalore nullo ed è diagonalizzabile allora esiste una matrice invertibile $S$ tale che $A=S^{-1}OS$ dove $O=[[0, ldots, 0], [,ddots,],[0, ldots, 0]]$. E quindi $A=O$. Fine.

[mad.fk-votailprof]

Grazie mille

[xnix]

E cosa si può dire del rango di $A$?? che è nullo poiché lo spettro contiene il solo 0?... ma io sapevo che se lo spettro contiene il solo 0 la matrice non è diagonalizabile..