Matrici nilpotenti e polinomio caratteristico

[Vincent46]

Salve, dovrei dimostrare che una matrice nilpotente a entrate reali nxn ha polinomio caratteristico uguale a $(-\lambda)^n$.
Sono arrivato a capire che tutti gli autovalori devono essere zero.
Ma il polinomio caratteristico non potrebbe comunque essere della forma $(-\lambda)^k *p(\lambda)$, con $p(\lambda)$ prodotto di polinomi di secondo grado a delta negativo?
Grazie

[vict85]

Stai dicendo che una matrice nilpotente reale non è nilpotente nei complessi?

[Vincent46]

ahh... chiaro. Se $p(\lambda)$ avesse radici complesse diverse da zero, allora sarebbero autovalori per l'endomorfismo associato alla matrice in $\mathbb{C}$, il che non è possibile perché solo $\lambda=0$ è ammissibile, giusto? in effetti era semplice