Matrici nilpotenti
Ragazzi qualcuno mi dimostra perchè le matrici nilpotenti hanno la traccia uguale a zero?Anche solo un aiutino..
Grazie!!
Grazie!!
Risposte
Aiutino: la traccia è invariante per similitudine 
Quindi le matrici con lo stesso determinante hanno la stessa traccia.Perciò se una matrice è nilpotente è simile alla matrice nulla e quindi ha la stessa traccia cioè nulla.E' giusto?
Occhio che non bastano solo il determinante e la traccia per dire che due matrici sono simili...
Per esempio devono avere la stessa forma canonica di Jordan...
Per esempio devono avere la stessa forma canonica di Jordan...
"delca85":
le matrici con lo stesso determinante hanno la stessa traccia.
No: se ciò fosse vero tutte le matrici non invertibili avrebbero la stessa traccia (perché hanno tutte lo stesso determinante, zero), e ciò non è vero.
"delca85":
se una matrice è nilpotente è simile alla matrice nulla
No: la matrice nulla è simile solo a sé stessa (ricorda che matrici simili hanno lo stesso rango).
hai ragione,ho scritto una bella stupidaggine!Però le matrici simili hanno la stessa traccia,giusto?
"delca85":
le matrici simili hanno la stessa traccia,giusto?
Giusto.
Quindi le matrici simili a quelle nilpotenti hanno traccia nulla.E questo basta per dire che le matrici nilpotenti hanno traccia nulla?
Edito: sì, basta.
Tu sai che (altro aiutino, eh
) se il campo base è algebricamente chiuso allora ogni matrice quadrata è triangolarizzabile.
...
Tu sai che (altro aiutino, eh
) se il campo base è algebricamente chiuso allora ogni matrice quadrata è triangolarizzabile....
Ok.infatti un omomorfismo o una matrice nxn sono diagonalizzabili se ci sono n valori reali contati con leloro molteplicità.E' quello che intendevi tu?
No, non parlo di diagonalizzabilità ma di triangolarizzabilità.
Se sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio $CC$), ogni matrice quadrata è simile ad una matrice triangolare superiore. Ne segue che ti basta mostrare che le matrici triangolari superiori nilpotenti hanno traccia nulla. E questo è più facile.
Se non sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio, se sei su $RR$), non è grave: guardi la tua matrice in una chiusura algebrica (per esempio $CC$ nel caso di $RR$) fai lo stesso lavoro di prima e concludi che la tua matrice ha traccia nulla vista sulla chiusura algebrica, e quindi anche sul campo di partenza.
Se sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio $CC$), ogni matrice quadrata è simile ad una matrice triangolare superiore. Ne segue che ti basta mostrare che le matrici triangolari superiori nilpotenti hanno traccia nulla. E questo è più facile.
Se non sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio, se sei su $RR$), non è grave: guardi la tua matrice in una chiusura algebrica (per esempio $CC$ nel caso di $RR$) fai lo stesso lavoro di prima e concludi che la tua matrice ha traccia nulla vista sulla chiusura algebrica, e quindi anche sul campo di partenza.
Grazie davvero.Ora sono un po' fusa,ci penso un pochino poi domattina scrivo e se quando hai tempo dai un'occhiata mi dici se ti sembra che abbia capito.Grazie ancora e notte!
Ciao!Ecco cosa ho pensato io:
Se $t$ è autovalore della matrice $A$,$t^n$ è autovalore di $A^n$.Quindi se $0$ è autovalore di $A^n$,è anche autovalore di $A$.Anche se non so se per questo si può dire che allora $A$ ha traccia nulla..
Se $t$ è autovalore della matrice $A$,$t^n$ è autovalore di $A^n$.Quindi se $0$ è autovalore di $A^n$,è anche autovalore di $A$.Anche se non so se per questo si può dire che allora $A$ ha traccia nulla..
In effetti, non basta.
Prova a risolvere il problema quando la matrice è triangolare superiore.
Prova a pensare: se A è una matrice triangolare superiore, cosa puoi dire di $A^2$? E' ancora triangolare superiore? E cosa puoi dire della diagonale di $A^2$ per rapporto alla diagonale di A ?
Prova a risolvere il problema quando la matrice è triangolare superiore.
Prova a pensare: se A è una matrice triangolare superiore, cosa puoi dire di $A^2$? E' ancora triangolare superiore? E cosa puoi dire della diagonale di $A^2$ per rapporto alla diagonale di A ?
Mi è appena venuto in mente un metodo più semplice!
Se A è una matrice nilpotente allora ammette zero come unico autovalore. Infatti se a è un autovalore di A e Av=av per un certo autovettore associato v allora $0=A^n v=a^n v$, e quindi se v non è il vettore nullo, a=0. Un modo più complicato di dirlo è che dato che $A^n=0$, per Hamilton Cayley il polinomio minimo di A è della forma $x^k$, e poiché polinomio minimo e polinomio caratteristico hanno le stesse radici, gli autovalori di A (cioè le radici del polinomio caratteristico) sono tutti nulli. [non dico questo per fare il saccente, ma per 'spaziare' e dare un senso 'globale' all'esercizio ]
Ora, gli elementi diagonali di una matrice triangolare superiore sono autovalori per tale matrice...
Se A è una matrice nilpotente allora ammette zero come unico autovalore. Infatti se a è un autovalore di A e Av=av per un certo autovettore associato v allora $0=A^n v=a^n v$, e quindi se v non è il vettore nullo, a=0. Un modo più complicato di dirlo è che dato che $A^n=0$, per Hamilton Cayley il polinomio minimo di A è della forma $x^k$, e poiché polinomio minimo e polinomio caratteristico hanno le stesse radici, gli autovalori di A (cioè le radici del polinomio caratteristico) sono tutti nulli. [non dico questo per fare il saccente, ma per 'spaziare' e dare un senso 'globale' all'esercizio
]Ora, gli elementi diagonali di una matrice triangolare superiore sono autovalori per tale matrice...
Allora,siamo arrivati a dimostrare che una matrice nilpotente ha autovalori tutti 0,giusto?Se così fosse non stiamo dicendo che è simile alla matrice nulla,cosa che abbiamo detto impossibile?(scusa se insisto ma sto cercando di capire)E quello che avevo scritto oggi pomeriggio era giusto?
Grazie!
Grazie!
Quello che hai scritto oggi pomeriggio è giusto.
Non è vero che se una matrice ha autovalori tutti nulli allora è la matrice nulla. Per esempio la matrice
$((0,1),(0,0))$
non è la matrice nulla ma ammette solo 0 come autovalore.
Non è vero che se una matrice ha autovalori tutti nulli allora è la matrice nulla. Per esempio la matrice
$((0,1),(0,0))$
non è la matrice nulla ma ammette solo 0 come autovalore.
NO però scusa se ha autovalori tutti ed è diagonalizzabile non è simile ad una matrice diagonale che ha sulla diagonale i suoi autovalori e cioè in questo caso la matrice nulla?Il discorso è che appunto le matrici nilpotenti non sono diagonalizzabili..?
Esatto. L'unica matrice nilpotente diagonalizzabile è la matrice nulla
Ok.Dunque,per ora siamo arrivati a dire che le matrici nilpotenti hanno come unico autovalore 0.Dunque nel polinomio caratteristico sappiamo che anche il termine noto è 0.Termine noto che nel polinomio caratteristico rappresenta il determinante della matrice moltiplicato per $(-1)^n$.Quindi il determinante è nullo,cosa vera nelle matrici nilpotenti ma che non mi dice niente sulla traccia della matrice.
Devo lavorare sul discorso che mi facevi tu riguardo la matrice triangolare?[/spoiler]
Devo lavorare sul discorso che mi facevi tu riguardo la matrice triangolare?[/spoiler]
In realtà puoi usare il fatto che la traccia è la somma degli autovalori (contati con molteplicità) quindi dato che tutti gli autovalori sono nulli, la traccia è nulla.
Ma se non vuoi usare questo risultato puoi sempre dimostrare che una matrice triangolare superiore nilpotente ha forzatamente zeri su tutta la diagonale. Non è difficile: supponi che ci sia un elemento diagonale non nullo e mostri che le potenze successive hanno forzatamente un elemento non nullo in quella posizione.
Ma se non vuoi usare questo risultato puoi sempre dimostrare che una matrice triangolare superiore nilpotente ha forzatamente zeri su tutta la diagonale. Non è difficile: supponi che ci sia un elemento diagonale non nullo e mostri che le potenze successive hanno forzatamente un elemento non nullo in quella posizione.
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