Matrici nilpotenti
Ragazzi qualcuno mi dimostra perchè le matrici nilpotenti hanno la traccia uguale a zero?Anche solo un aiutino..
Grazie!!
Grazie!!
Risposte
Sì,ci sono in tutti e due i modi!Grazie mille sei stato gentilissimo e pazientissimo!
Prego
ciao.

Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?
"squalllionheart":
Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?
Rispetto al prodotto di matrici non formano di certo un gruppo,
visto che nessuna è invertibile..
è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.
Guarda non formano un gruppo neppure rispetto all'addizione.
Non c'è chiusura perché se infatti prendi le matrici nilpotenti
$A = ((0,1),(0,0))$
e
$B = ((0,0),(1,0))$
la loro somma è uguale a
$A + B = ((0,1),(0,0)) + ((0,0),(1,0)) = ((0,1),(1,0))$
ma $A+B$ è invertibile, e quindi non può essere nilpotente.
Non c'è chiusura perché se infatti prendi le matrici nilpotenti
$A = ((0,1),(0,0))$
e
$B = ((0,0),(1,0))$
la loro somma è uguale a
$A + B = ((0,1),(0,0)) + ((0,0),(1,0)) = ((0,1),(1,0))$
ma $A+B$ è invertibile, e quindi non può essere nilpotente.
"squalllionheart":
è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.
Attenzione: il prodotto di due matrici nilpotenti non è sempre nilpotente.
Esempio:
$A = ((0,0),(1,0))$
e
$B = ((0,1),(0,0))$
il loro prodotto è uguale a
$C = A \cdot B = ((0,0),(1,0)) \cdot ((0,1),(0,0)) = ((0,0),(0,1))$
questa matrice non è nilpotente, ma è idempotente, cioè ha la proprietà
$C^2 = C \cdot C =C$
(e quindi non potrà mai diventare la matrice nulla).
Per la cronaca la trasformazione rappresentata dalla matrice $C$
è la proiezione ortogonale sull'asse $y$:
$x' = 0$
$y' = y$
è la proiezione ortogonale sull'asse $y$:
$x' = 0$
$y' = y$
Per chiudere il cerchio:
in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.
in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.
"franced":
Per chiudere il cerchio:
in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.
Costruiamo una matrice non nulla nilpotente $2 times 2$:
prendiamo $N = ((a,b),(c,d))$ con $b ne 0$
tanto per cominciare $d = -a$ perché la traccia deve essere nulla;
quindi abbiamo $N = ((a,b),(c,-a))$
il determinante deve essere nullo:
$-a^2 - bc = 0$ $Rightarrow$ $c = -a^2/b$
e quindi ricaviamo:
$N = ((a,b),(-a^2/b,-a))$