Matrici nilpotenti

[delca85]

Ragazzi qualcuno mi dimostra perchè le matrici nilpotenti hanno la traccia uguale a zero?Anche solo un aiutino..
Grazie!!

[delca85]

Sì,ci sono in tutti e due i modi!Grazie mille sei stato gentilissimo e pazientissimo!

[Studente Anonimo]

Prego ciao.

[squalllionheart]

Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?

[franced]

"squalllionheart":Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?

Rispetto al prodotto di matrici non formano di certo un gruppo,
visto che nessuna è invertibile..

[squalllionheart]

è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.

[franced]

Guarda non formano un gruppo neppure rispetto all'addizione.
Non c'è chiusura perché se infatti prendi le matrici nilpotenti

$A = ((0,1),(0,0))$

e

$B = ((0,0),(1,0))$

la loro somma è uguale a

$A + B = ((0,1),(0,0)) + ((0,0),(1,0)) = ((0,1),(1,0))$

ma $A+B$ è invertibile, e quindi non può essere nilpotente.

[franced]

"squalllionheart":è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.

Attenzione: il prodotto di due matrici nilpotenti non è sempre nilpotente.

Esempio:

$A = ((0,0),(1,0))$

e

$B = ((0,1),(0,0))$

il loro prodotto è uguale a

$C = A \cdot B = ((0,0),(1,0)) \cdot ((0,1),(0,0)) = ((0,0),(0,1))$

questa matrice non è nilpotente, ma è idempotente, cioè ha la proprietà

$C^2 = C \cdot C =C$

(e quindi non potrà mai diventare la matrice nulla).

[franced]

Per la cronaca la trasformazione rappresentata dalla matrice $C$
è la proiezione ortogonale sull'asse $y$:

$x' = 0$
$y' = y$

[franced]

Per chiudere il cerchio:

in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.

[franced]

"franced":Per chiudere il cerchio:

in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.

Costruiamo una matrice non nulla nilpotente $2 times 2$:

prendiamo $N = ((a,b),(c,d))$ con $b ne 0$

tanto per cominciare $d = -a$ perché la traccia deve essere nulla;

quindi abbiamo $N = ((a,b),(c,-a))$

il determinante deve essere nullo:

$-a^2 - bc = 0$ $Rightarrow$ $c = -a^2/b$

e quindi ricaviamo:

$N = ((a,b),(-a^2/b,-a))$