Matrici nilpotenti

delca85
Ragazzi qualcuno mi dimostra perchè le matrici nilpotenti hanno la traccia uguale a zero?Anche solo un aiutino..
Grazie!!

Risposte
delca85
Sì,ci sono in tutti e due i modi!Grazie mille sei stato gentilissimo e pazientissimo!

Prego :) ciao.

squalllionheart
Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?

franced
"squalllionheart":
Rispetto a questa cosa con le matrici nilpotenti il determinante è sempre 0?
che rappresntano un gruppo o addirittura un anello?



Rispetto al prodotto di matrici non formano di certo un gruppo,
visto che nessuna è invertibile..

squalllionheart
è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.

franced
Guarda non formano un gruppo neppure rispetto all'addizione.
Non c'è chiusura perché se infatti prendi le matrici nilpotenti

$A = ((0,1),(0,0))$

e

$B = ((0,0),(1,0))$

la loro somma è uguale a

$A + B = ((0,1),(0,0)) + ((0,0),(1,0)) = ((0,1),(1,0))$

ma $A+B$ è invertibile, e quindi non può essere nilpotente.

franced
"squalllionheart":
è vero. il fatto che il prodotto sia chiudo nn basta a definire un gruppo.



Attenzione: il prodotto di due matrici nilpotenti non è sempre nilpotente.

Esempio:

$A = ((0,0),(1,0))$

e

$B = ((0,1),(0,0))$

il loro prodotto è uguale a

$C = A \cdot B = ((0,0),(1,0)) \cdot ((0,1),(0,0)) = ((0,0),(0,1))$

questa matrice non è nilpotente, ma è idempotente, cioè ha la proprietà

$C^2 = C \cdot C =C$

(e quindi non potrà mai diventare la matrice nulla).

franced
Per la cronaca la trasformazione rappresentata dalla matrice $C$
è la proiezione ortogonale sull'asse $y$:

$x' = 0$
$y' = y$

franced
Per chiudere il cerchio:

in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.

franced
"franced":
Per chiudere il cerchio:

in generale, le matrici nilpotenti $2 times 2$ sono tutte e sole le matrici
simili o alla matrice nulla oppure alla matrice $N = ((0,1),(0,0))$.



Costruiamo una matrice non nulla nilpotente $2 times 2$:

prendiamo $N = ((a,b),(c,d))$ con $b ne 0$

tanto per cominciare $d = -a$ perché la traccia deve essere nulla;

quindi abbiamo $N = ((a,b),(c,-a))$

il determinante deve essere nullo:

$-a^2 - bc = 0$ $Rightarrow$ $c = -a^2/b$

e quindi ricaviamo:

$N = ((a,b),(-a^2/b,-a))$

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