Matrici invertibili

[franbisc]

Per me la frase "Se A è una matrice quadrata nxn invertibile,non esiste una matrice quadrata B nxn invertibile tale che AB=BA=0" è falsa,e non riesco a capire il perchè invece è vera.

Cioè la frase non implica che B sia la matriche inversa di A(e in questo caso sarebbe vera),dice solamente che B è una matrice qualsiasi,invertibile anch'essa,e quindi ne esisterà una tale che AB=BA=0,...o no?

[Sk_Anonymous]

A me non sembra per niente vera: se una matrice \(\displaystyle A \) è invertibile allora il nucleo dell'applicazione lineare che rappresenta è vuoto... Come si costruisce allora una \(\displaystyle B \), per di più invertibile, tale che \(\displaystyle AB=0 \)?
Dove hai trovato questa affermazione? E come viene dimostrata?

[franbisc]

"Delirium":Dove hai trovato questa affermazione? E come viene dimostrata?

E' un esercizio sul libro del mio professore,e non viene nè spiegata nè dimostrata,c'è solo la soluzione(vera)

Comunque sia non ho compreso la tua spiegazione,ma il mil ragionamento è corretto?

[Sk_Anonymous]

Mi accorgo ora di aver letto male la proposizione (avevo letto "esiste").

Se \(\displaystyle A \) è una matrice quadrata \(\displaystyle n \times n \) invertibile, non esiste una matrice quadrata \(\displaystyle B \) \(\displaystyle n \times n \) invertibile tale che \(\displaystyle AB=BA=0 \)

Ovviamente la proposizione è vera anche per quanto ho addotto più sopra.

"Mifert4":Comunque sia non ho compreso la tua spiegazione

Una tale matrice \(\displaystyle B \), qualora esistesse, dovrebbe avere per colonne tutte e sole combinazioni lineari dei vettori del nucleo di \(\displaystyle A \); ma per ipotesi \(\displaystyle A \) è invertibile, quindi ha rango massimo, quindi la sua immagine satura il codominio, quindi il suo nucleo è vuoto. E allora come si costruisce una \(\displaystyle B \) di quel tipo?

Il tuo ragionamento non mi è chiaro.

[franbisc]

Il mio ragionamento era che non fosse detto da nessuna parte che B fosse proprio l'inversa di A,ma che potesse essere una matrice invertibile qualunque,e invece ora mi accorgo che mi sbagliavo perchè la doppia uguaglianza AB=BA=0 lo sottintende.
E quindi effettivamente a questo punto anche a me viene da dire che è falso che AB=BA=0 ,perchè se AB=BA allora a sua volta questa può essere uguale solo a 0

[Sk_Anonymous]

"Mifert4":Il mio ragionamento era che non fosse detto da nessuna parte che B fosse proprio l'inversa di A,ma che potesse essere una matrice invertibile qualunque,e invece ora mi accorgo che mi sbagliavo perchè la doppia uguaglianza AB=BA=0 lo sottintende.
E quindi effettivamente a questo punto anche a me viene da dire che è falso che AB=BA=0 ,perchè se AB=BA allora a sua volta questa può essere uguale solo a 0

Sì, se \(\displaystyle B \) fosse stata l'inversa si avrebbe avuto \(\displaystyle AB=1_{n} \ne 0 \).

Io credo che la condizione di invertibilità su \(\displaystyle B \) sia troppo forte qualunque sia la matrice \(\displaystyle A \), talmente forte da farmi pensare che \(\displaystyle \forall \; A \in M_{n}(\mathbb{R}) \ \ \nexists \; B \in \text{GL}(n,\mathbb{R}) \) t.c. \(\displaystyle AB=BA=0 \) (questo fatto andrebbe provato, anche se a naso mi sembra vero).

Senza le ipotesi di invertibilità di \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) se ne può fare qualcosa...

[killing_buddha]

il nucleo dell'applicazione lineare che rappresenta è vuoto

ARGH.

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":

il nucleo dell'applicazione lineare che rappresenta è vuoto

ARGH.

Hai ragione, mi è scappato (e più di una volta: farò ammenda). In quanto sottospazio vettoriale, il nucleo contiene sempre almeno il vettore nullo...

[FrecciaRossa1]

è un discorso di determinanti.. per ipotesi $A$ è invertibile $\Rightarrow$ $det(A)$ diverso da zero, ora se per assurdo esiste $B$ invertibile tale che $AB=0$ per il teorema di binet $det(AB)=det(A)det(B)=det(0)=0$ $\Rightarrow$ $det(B)=0$, assurdo perchè $B$ invertibile.